西南交大《工程数学ⅰ》1-4次离线作业

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1、工程数学I第1次离线作业三、主观题（共15道小题）29・求5元排列52143的逆序数。解答：在排列52143中，排在5之后，并小于5的数有4个；排在2之后，并小于2的数有1个；排在1之后，并小于1的数有0个；排在4之后，并小于4的数有1个。所以<52143）=4+1+04-1=630・计算行列式解答：容易发现〃的特点是：每列（行）元素之和都等于6,那么，把二、三、四行同时加到第一行，并提出第一行的公因子6,便得到由于上式右端行列式第一行的元素都等于1,那么让二、三、四行都减去第一行得4db3中元素a和b的代数

2、余子式。解答:口=dii4i如4a卜・・+%址行列式展开方法Q二仏％132-容易发现〃的特点是：每列元素之和都等于6,那么，把二、三、四行同时加到第一行，并提出第一行的公因子6,便得到66111111一£121131—92131131213由于上式右端行列式第一行的元素都等于1,那么让二、三、四列都减去第一列，第一行就出现了三个零元素，即100110D====67232-11110J：汕肌匕7),解答:<4-46+x4-y"

3、[古2tiJ=[-l4-r4.tfc+5J2x=x+4x=42{y=6+x+jry=

4、102x=-l+r+«»=42tt=tt-t-5tt=534.“c)求出解答：35・求矩阵X使之满足(10C

5、pI31X=00IVI解答:qoo'-11r20CP<1P1/22、/x=131011-11-1011-20—=2=2<01bdo><1-13,J0丿,0,AX二C,X=H"C。在方程两端夙取疋乘J;级求出的逆矩阵，得卩-12001-1按4展开6：~]=1202I36.解矩阵方程其中解答：首先计算出U

6、-b所以力是可逆矩阵。对矩阵（力，B）作初等行变换004-910-2401-513所以所以秩（A）=

7、4o3设向量组％,禺,羽线性无关，记煜=说+禺，坊=禺+羽，角=羽+%，证明向量7.组煜，坊，角线性无关。3解答：j萇数力1,疋2,屁使兀+上2易+怠煜=0•*将说，禺，禺代入侍上1（说+禺）+上2（碣+羽）+禺（碣+斶）=CL为了利用向量组％,禺，羽的线性无关的性质，将上式改写为（俎+疋3）%+（妇+佗!）禺+（疋2+疋3）驹=°由于说,禺,帶线性无关，因而有这个三兀一次方程组只有唯一的解上1=込=$=CL所以煜，炖，角线性无关。38.求向皐组⑴2

8、4501‘禺=-1,说=-3©k-3?的耘和一个极大

9、无关组。解答:设4-502“21W4I3-3-3_3000阶梯矩阵的旌为3,所以向壘组的轅等于九由于阶梯矩阵中被化为零行的向壘是冬『（注意心㊀q）,故说,碍，禺是一个极大无关组。39.求解非齐次线性方程组2^4召+细-2斗=丫解答：对增广矩阵X施行初等行变换化成简单阶梯形矩阵5-23-1-23-1nB=3-15_3405_401<212-20000>可见，R(A)=R(B)=2,所以方程组有■解。754■I50-17550原方程组的同解方程组为•771534541心=—心+—2535故方程组的通解为r~55兀

10、2401=七15+上2+5100<0丿1□(k1?k2eR)40.a=(1,1,l)r,禺=(1厶1广a3=(-l,w,v)ro间：z,w,v为何值时｛%,禺，禺｝是正交向壘组?解答:%碍正交，则〈％碍〉=0,即l+f+l=O,f=-2o所以禺=(1,-2」)『时｛仏禺｝正交的。设｛碍,禺，碣｝是正交向量组，则〈％,碣〉=0且©2,夠〉=0。即一1+以+v=0-l-2w+v=0解得a=0,v=1o所以碣=(-1,0,1)『时，｛a】,禺，碣｝是正交向量组。41・设‘460、，求A的特征值和特征向量。A=-3

11、-50r3-6L解答:由/(^)=0得丄的特征值为21=-2,兄2=久厂1。其中1杲丄的二重特征值。当久厂一2时，解齐这方程组(A+2E)x=0,r660]p2-1、(丄+2斫-3-30初锌打喪慣〉i10-600丿得基础•解系^=*-11『，对应于特征值-2的特征向壘全体为kpx

12、0

13、«f360>20]3_E)=-360000/「3_6o；卫0o丿='00l»r,匹='-210J特征向壘为/2)Ikxp2+上2羽

14、焜+k220Jo矩阵卫有三个线性无关的特征向壘羽=1-111Cp2=0Hr,^=•-210

15、仁故相似变换袒阵选取为r-i0-2、J200、P=51P2P3]=i01,P~XAP=A=010J10丿

16、=（兄一1）*兄+3），4的特征值为^=^2=^=1,入=一3。对特征值易=爲=兔=1,解齐次方程组（A-E）x=0得基础解系^=(1100仁^=-1010>r^=(-1001二用施密特正交化方法把衙，正交化DBig〉R—将队屆眉