复变函数与积分变换期末练习

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1、复变函数与积分变换期末练习一.解析函数例1指出下列函数的解析区域，并求导数：（1）（2）例2设在区域D内解析，且满足下列条件之一，试证在区域D内为常数.(1)在区域D内解析;(2)在区域D内为常数.例3设的解析函数，且有：，求函数.例4已知均为区域D内的调和函数，a,b为任意常数，试证：亦为区域D内的调和函数.例5计算下列各值：(1);(2);(3).例6解下列方程：(1)1+=0(2)=0二.复变函数的积分例7设在单连通域内解析，且满足（），试证：（1）在内处处有.（2）对内任一周线，有.例8计算积

2、分其中C为不经过0及1点的简单闭曲线.例9设在区域D内解析，C为D内任意一条正向简单闭曲线，它的内部全部含于D，试证：对于在D内但不在C上的任意一点，有：例10设函数在内解析，且试计算积分，并由此得出积分的值.三.解析函数的级数表示例11单项选择题：(1)下列级数中，条件收敛的是（）.(A)(B)(C)(D)(2)下列级数中，绝对收敛的是（）.(A)(B)(C)(D)(3)若幂级数在z=1+2i处收敛，那末该级数在z=2处的敛散性为（）.(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)不确定(4)设在圆环

3、域内的洛朗展式为，为内绕的任意一条简单闭曲线，那么（）.（A）（B）（C）（D）例12设级数收敛，而级数发散，证明幂级数的收敛半径为1.例13设函数在圆域内解析，，试证(1)(2)例14求幂级数的和函数，并计算的值.例15将在点z=0,z=1展成洛朗级数.四.留数及其应用例16判断下列函数的孤立奇点的类型：(1)(2)(3)例17（1）设z=a是函数的m阶零点，求：；（2）设z=a是函数的n阶极点，求：.例18若m,n为自然数，且试求函数的留数.例19求在有限奇点处的留数.例20设a为的孤立奇点，试证

4、：若是奇函数，则；若是偶函数，则.例21利用留数计算下列积分：(1)(2)(3)(4)