瓦里斯问题的解法及其引申

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1、瓦里斯问题的解法及其引申陕西省商洛市商南县初级中学石贵旺（726300）17世纪英国数学家瓦里斯提出一个问题：周长相等的所有矩形中，以正方形的面积最大，证明这个问题的方法很多，这里我们采用二次函数的最大值的方法来解。设矩形的周长为2a，一边长为x，则另一边长为a－x，故矩形面积为S＝x(a－x)＝－x2＋ax＝―(x―)2＋可见，当x=时，S最大=此时，另一边长a－x=a－=.该矩形是正方形.这就是说:“周长一定的矩形中，以正方开的面积最大.”利用二次函数把瓦里斯问题层层引申,可得到许多有趣的数学问题.一、靠墙围矩形问题用一定长度的篱笆，靠墙围成一个矩形，问怎样围法才

2、能使面积最大？如图1，设篱笆总长为a，一边长为x，则与墙平行的一边长为a－2x，那么矩形面积为S=x(a－2x)=－2x2+ax=－2(x－)2+.图1故当x=时，S最大=此时，平行于墙一边的长为a－2x=a－2×=.这说明当平行于墙的一边的长度是另一边长度的二倍时，矩形的面积最大.二、三角形内接矩形问题在一个锐角三角形中作一个内接矩形，问怎样才能使内接矩形的面积最大？如图2，设△ABC的底边为a，高为h，设DE=x,则AQ=h–x.由DG//BC知△ADG∽△ABC，∴=,∴DG=(h－x),∴内接矩形DEHG面积为图2S=x·(h－x)=－x2+ax=－(x－)2

3、+,故当x=时，S最大=.由于△ABC的面积为ah，上述计算结果表明：当把垂直于底边的矩形的一边取为三角形高的一半时，内接矩形有最大面积，最大面积恰好等于三角形面积的一半。三、圆内接矩形问题在圆内求作一个面积最大的内接矩形，该怎样作呢？如图3，设已知圆的半径为R，内接矩形的一条边长为x，则由勾股定理知另一边长BC=。那么内接矩形面积为S=x，则S2=x2(4R2－x2)=－(x2－2R2)2＋4R4.当x2＝2R2,即x=R时，S2最大=4R4，即S最大=2R2.此时，另一边长BC==R，即AB=BC.所以，当内接矩形为一内接正方形时，面积最大为2R2.四、半圆中的矩

4、形问题在半圆内，作一个内接矩形，怎样才能使其面积最大？如图4，设半圆半径为R，AB=x，则AO=，那么内接矩形面积为S=2x,则S2=4x2(R2-x2)＝>S2=－4（x2－）2+R4当x2=，即x=R时，S2最大=R4，即S最大=R2.而此时BC=2AO=2=R，它恰好是另一边长的二倍，所以当平行于直径的一边是另一边长度的二倍时，半圆内接矩形面积最大.作者单位：陕西商洛市商南县初级中学.邮编：726300邮箱：shiguiwang128@163.com本文发表于（主管：中华人民共和国教育部，主办：中国教育学会）《中小学数学》2011年第十期