解排列、组合应用问题的思维方法

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1、膅荿蒈虿芇薄螇螈羇莇蚃螇聿薃蕿螆芁莅薅螅莄芈袃螄肃蒄蝿螄膆芇蚅螃芈蒂薁螂羈芅蒇袁肀蒀螆袀膂芃蚂衿莅葿蚈袈肄莁薄袈膆薇蒀袇艿莀螈袆羈薅蚄羅肁莈薀羄膃薃蒆羃芅莆袅羂肅腿螁羂膇蒅蚇羁芀芇薃羀罿蒃葿罿肂芆螈肈膄蒁蚃肇芆芄蕿肆羆葿蒅肆膈节袄肅芁薈螀肄莃莁蚆肃肂薆薂蚀膅荿蒈虿芇薄螇螈羇莇蚃螇聿薃蕿螆芁莅薅螅莄芈袃螄肃蒄蝿螄膆芇蚅螃芈蒂薁螂羈芅蒇袁肀蒀螆袀膂芃蚂衿莅葿蚈袈肄莁薄袈膆薇蒀袇艿莀螈袆羈薅蚄羅肁莈薀羄膃薃蒆羃芅莆袅羂肅腿螁羂膇蒅蚇羁芀芇薃羀罿蒃葿罿肂芆螈肈膄蒁蚃肇芆芄蕿肆羆葿蒅肆膈节袄肅芁薈螀肄莃莁蚆肃肂薆薂蚀膅荿蒈虿芇薄螇螈羇莇蚃螇聿薃蕿螆芁莅薅螅莄芈袃螄肃蒄蝿螄膆芇蚅螃芈蒂

2、薁螂羈芅蒇袁肀蒀螆袀膂芃蚂衿莅葿蚈袈肄莁薄袈膆薇蒀袇艿莀螈袆羈薅蚄羅肁莈薀羄膃薃蒆羃芅莆袅羂肅腿螁羂膇蒅蚇羁芀芇薃羀罿蒃葿罿肂芆螈肈膄蒁蚃肇芆芄蕿肆羆葿蒅肆膈节袄肅芁薈螀肄莃莁蚆肃肂薆薂蚀膅荿蒈虿芇薄螇螈羇莇蚃螇聿薃蕿螆芁莅薅螅莄芈袃螄肃蒄蝿螄膆芇蚅螃芈蒂薁“解排列、组合应用问题”的思维方法一、优先考虑：对有特殊元素（即被限制的元素）或特殊位置（被限制的位置）的排列，通常是先排特殊元素或特殊位置，再考虑其它的元素或其它的位置。例1．（1）由0、1、2、3、4、可以组成个无重复数字的三位数。（2）由1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有个。（

3、3）5个人排成一排，其中甲不排在两端也不和乙相邻排列的排列共有种。二、“捆”在一起：有要求元素相邻（即连排）的排列问题，可以先将相邻的元素看作一个“整体”与其它元素排列，然后“整体”内部再进行排列。例2．（1）有3位老师、4名学生排成一排照相，其中老师必须在一起的排法共有种。（2）有2位老师和6名学生排成一排，使两位老师之间有三名学生，这样的排法共有种。三、插空档：有要求元素不相邻（即间隔排）的排列问题，可以制造空档插空。例3．（1）五种不同的收音机和四种不同的电视机陈列一排，任两台电视机不靠在一起，有种陈列方法。（2）6名男生6名女生排成一排，要求男女相间的排法有种。四、

4、减去特殊情况（即逆向思考）：先算暂时不考虑限制条件的排列或组合种数，然后再从中减去所有不符合条件的排列或组合数。例4．（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有个。（2）由0、1、2、3、4、可以组成个无重复数字的三位数。第8页共8页（3）集合有8个元素，集合有7个元素，有4个元素，集合有3个元素且满足下列条件：的集合有几个。（4）从6名短跑运动员中选4人参加4´100米的接力赛，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有多少种参赛方案？五、先组后排：排列、组合综合题，通常都是先考虑组合后考虑排列。例5（1）用1、2、3、¼9这九个数字，能组成由3个奇数数字、2个偶数数字的不

5、重复的五位数有个。（2）有8本不同的书，从中取出6本，奖给5位数学优胜者，规定第一名（仅一人）得2本，其它每人一本，则共有种不同的奖法。（3）有五项工作，四个人来完成且每人至少做一项，共有种分配方法。六、除以排列数：对某些元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制排列后，再除去规定顺序元素个数的全排列。例6（1）有4名学生和3位老师排成一排照相，规定两端不排老师且老师顺序固定不变，那么不同的排法有种。（2）由0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字，十位数字小于百位数字，则这样的数共有个。（3）书架上放有5本书（1~5册），现在要再插入3本书

6、，保持原有的相对顺序不变，有种放法。七、对象互调：有些排列或组合题直接就题论题很难入手，但换个角度去考虑便顺利求得结果又易理解。例7．（1）一部电影在四个单位轮放，每单位放映一场，可以有种放映次序。第8页共8页（2）一排有8个座位，3人去坐，要求每人左右两边都有空位的坐法有种。（3）有6个座位3人去坐，要求恰好有两个空位相连的不同坐法有种。八、分情况研究：分情况研究（即分类计算）复杂的排列、组合综合题，常常通过画简图、按元素的性质“分类”；按事件发生的连续过程“分步”等方法。分情况研究求得结果，尤其对含数字“0”的排列，常分“有0”及“无0”两种情况研究，在“有0”时，排列

7、的“首位”又是“特殊”位置要优先考虑。例8．（1）从编号为了1、2、3¼9的九个球中任取4个球，使它们的编号之和为奇数，再把这四个球排成一排，共有多少种不同的排法？（2）用0、1、2、3¼9这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数字与两个偶数字的五位数有多少个？（3）用0、1、2、3、4五个数字组成的无重复的五位数中，若按从小到大的顺序排列23140是第几个数？排列与组合(思考方法1～8训练)一．优先考虑1．现有6名同学站成一排：（1）甲不站排头也不站排尾有多少种不同的排法？（2）甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同