组合kdv方程的显式精确解

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1、第D%卷第%期%$$#年%月物理学报24G:D%，=4:%，W,5X9)XY，%$$#&$$$@#%;$Q%$$#QD（%$%）Q$%N"@$’O3ROSTUPV3OPV=V3O#%$$#3+.6:S+YM:P4/:###############################################################组合!"#方程的显式精确解!!石玉仁吕克璞段文山洪学仁赵金保杨红娟（西北师范大学物理与电子工程学院，兰州"#$$"$）（%$$%年#月&"日收到；%$$%年’月%#日收到修改稿）借助计算机代数系统()*+,-)*./)

2、，利用双曲函数法找到了组合012方程（34-5.6,1012789)*.46）的精确孤立波解，包括钟型孤立波解和扭结型孤立波解:在此基础上又对双曲函数法的思想进行了推广，从而获得了其更多的显式精确解，包括间断型激波解和指数函数型解:这种方法也适用于求解其他非线性发展方程（组）:关键词：组合012方程，双曲函数法，孤立波解，精确解$%&&：$#’$0，$%;$考虑其行波解&E引言$（"，!）I%（&），&I%"J&!H’，（#）可将方程（%）化为关于%的常微分方程KL7，假设求解非线性偏微分方程，长期以来是物理学家其解为和数学家研究的重要课题:近年来，齐次

3、平衡法［&—D］((),J&得到了广泛的应用［’—&&］%I"*)+H"-,+.，（’）:文献［&%］在该法的基础上，)I$,I&提出了双曲函数法，并且用这种方法成功地找到了其中若干非线性方程的精确孤立波解:文献［&#］对该法+I&，.IM.6+&，（D）/4M+&H//4M+&H/又作了进一步的完善以求找到非线性方程的更多的则精确解:该方法的优点是借助计算机代数系统如1+1.%()FG,，()*+,-)*./)等可以快速高效地完成:IJ+.，I&J.J/+，1&1&本文用双曲函数法，借助()*+,-)*./)软件，成%%%.I&J%/+H（/J&）+:

4、（N）［&’］功得到了组合012方程(“通过平衡微分方程KL7的最高阶微分项和%!!H"!!"H#!!"H$!"""I$（&）非线性项的阶数”来确定（文献［&#］则指出这样确定（"，#，$为不等于$的常数）的’组孤立波解:又在的是(的最大值，建议从&开始取起）:接着把（’）此法思想基础上对其进行了推广，获得了方程（&）的式代入KL7，再利用（N）式化简所得到的方程，使得更多精确解:该方法也同样适用于求解其他非线性方程各项满足两个条件：!）只有+和.的幂次项；发展方程（组）:"）.的幂次不大于&:然后合并+和.的同次幂项并取系数为零，就可以得到一个包含所有

5、待定系数%E组合012方程的精确孤立波解的非线性代数方程组=O7P:求解此=O7P最终可有希望得到非线性发展方程的精确解:以上工作手工推导比较麻烦，借助计算机代数系统如()FG,，()*+@’()(双曲函数法简介,-)*./)等可以快速高效地完成:文献［&%］提出的双曲函数法，简述如下：对于方’(’(组合!"#方程的孤立波解程，比如两个独立变量"，!#（$，$!，$"，$""，⋯）I$:（%）为简化起见，先对方程（&）作变量代换，!I!国家自然科学基金（批准号：&$%’"$$<）和西北师范大学科技创新工程（批准号：=>=?@0A3BC3@%&D）资助的课

6、题:!通讯作者:’!1物理学报2’卷"求!为实函数，同样应(’’!!#">"，#?(或(?"，#>()!，"$!#"%，#$#%并略去自变量上的撇号，则方"情况#程（"）成为#!!9’54A（6’".&#&*）’!$.@，（"(）!#&!!!"&#!!"&!"""$(，（"%）#!#"#!$!#其中’，*为任意常数，&$.’’#.=’)若要求!为其中#$’)后面的求解将针对（"%）式进行)#"按照双曲函数法，平衡方程（"%）中非线性项实函数，则应#>()’和最高阶导数项!，得$$"，从而得到方程情况/!!""""（"%）相应的非线性代数方程组*+,-为#

7、!#9’<9A（6’".&#&*）!$.@，（""）.%（&./’#.&(’&0’#(’&’（."&(’）#)’#!’#（:;<（6’".&#&*）&"）"(’."1’()&’’#)’&!’)（."&(’其中’，*为任意常数，&$.’（"1&’#）)若要求!""(’#’’’.#()"）.’#%"&#’(#%"）$(，为实函数，也应#>()#’&)".’)".!’)()".’#)()"上面第"，’组解是钟型孤立波解，而#，/组解’’&’’（(#&#)(）%".’#)"%"$(，是扭结型孤立波解)#’.&(%"&’(%"&’#()(%".!’)"%".)（.

8、!’(&’’#)）%&’#(%#$(，#B方程（"%）的其他精确解("""#’’