基于ridgelet冗余字典的非凸压缩感知重构方法 (1)

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1、基于Ridgelet冗余字典的非凸压缩感知重构方法1．2压缩感知理论简介压缩感知，又称为压缩采样或压缩传感，它是新的采样理论，它利用信号的稀疏性，在远小于奈奎斯特采样速率的条件下，用随机采样的方式获取信号的离散样本，然后通过非线性重构算法精确地重构信号【71。1．2．t压缩感知理论框架如图1．1所示，在压缩感知理论框架中，信号的采样过程和压缩编码过程在发送端是同时进行的，这样可以大大降低传感器的采样和计算成本。在接收端恢复信号是一个优化计算的过程，这里恢复信号所需的优化算法常常是个已知信号稀疏的欠定线性逆问题

2、。压缩理论为模拟信号直接压缩采样为数字形式提供了有效可行的途径，因此该理论一经提出，就引起了学术界和工业界的广泛关注。图1．1压缩感知理论框架从图1．1的压缩感知理论框架中我们可以看到，压缩感知理论涉及三个方面的核心内容。第一个方面是信号的稀疏表示，信号的稀疏性或者近似稀疏性是压缩感知理论的应用前提。第二个方面是观测矩阵的设计，压缩感知的采样方法是将信号与一组确定的波形进行相关的简单操作，这些波形要求与信号所在的稀疏空间是不相关的，因此必须保证观测矩阵与稀疏变换基具有非相关性。第三个方面是信号的重构，这是从残

3、缺信号中恢复出原始信号的一种手段，是压缩感知的最后一个环节，也是压缩感知理论的关键和核心，信号的重构过程一般都可以转换为一个求解最小厶范数的优化问题。关于信号的重构，我们将在第二章着重进行介绍。1．2．2稀疏表示近十几年来，稀疏(sparsity)已经成为信号处理领域中处于第一位的概念之一。信号的稀疏表示是用尽可能少的非零系数表示信号的主要信息，从而简化信号处理问题的求解过程。文献[8】从数学意义上为信号稀疏作了如下的定义：假设信号第一章绪论．厂在正交基lf，下的变换系数向量为口=y。f，如果系数满足0a忆兰

4、(∑呸fp)坳(00)，那么就认为系数向量a在某种意义上是稀疏的。从理论上来说，任何信号都是可压缩的或者稀疏的，只要能为信号找到合适的变换空问，就能对信号进行稀疏表示，进而对信号进行有效的压缩采样。因此，找到信号的最佳稀疏域，选择合适的基对信号进行表示，这是压缩感知应用首要考虑的问题。在信号处理领域中，最常用的变换有傅立叶变换、Gabor变换和小波变换等。其中，傅立叶变换【9】揭示了信号的时域和频域之间的内在联系，反映了信号在整个时问范围内全部频谱成分，适用于处理各种平稳信号。Gabor变换【1

5、0l建立在傅立叶变换的基础上，它是首先对信号进行加窗，接着再对加窗后的信号进行傅立叶变换的过程，Gabor变换能够从整体上提供信号的全部信息，又能提供任一局部时间段内信号变化剧烈程度的信息。小波变换能提供较为精确的时域定位和频域定位，能有效表示信号的零维奇异特性，对具有点状奇异性的目标函数，小波基是最优基，小波变换适用于一维分段光滑信号和非平稳信号。另外，为了更好地表示和处理图像、视频等复杂的高维空间数据，后来又提出了多尺度几何分析方法，例如Cand6sE．J．等学者提出的RidgeletLll】变换和Cur

6、veletll2】变换，D．L．Donoho等学者提出的Wedgelet031和Edgelet[14J变换，Do等学者提出的Contourlet[15】变换和Pennec提出的balldelet【161变换等。近年来，为了克服正交基不能捕获信号多种特征的缺陷，Mallat等研究人员又提出了基于过完备冗余字典的信号稀疏表示方式。这种新的稀疏表示理论的基本思想是：用过完备的冗余函数系统取代传统的正交基函数，利用原子库即字典的冗余特性捕获原始信号的自然特征和结构特征，从冗余字典中选择具有最佳组合的若干个原子来逼近原

7、始信号，这个过程称为信号的稀疏逼近，或者高度非线性逼近Il7

8、。用超完备冗余字典对信号进行稀疏表示，基函数可以根据信号本身的特点白适应地选取，冗余系统对噪声和误差更为鲁棒，得到的结果更为简洁稀疏，因此超完备信号稀疏表示成为新的研究方向和热点，相关应用已扩展到很多领域。1．2．3观测矩阵在压缩感知理论中，对信号厂进行线性投影使用的矩阵①称为观测矩阵，线性投影的数学表达如下式(1一1)所示：Y=町(1．1)由于信号f在正交基lf，下可以稀疏表示为f=lf，a，因此式(1．1)可以转化为式(1—2)，如下所示：4基

9、于Ridgelet冗余字典的三f=凸压缩感知重构方法y=①甲a=Oa(1—2)其中，O=①甲是M×Ⅳ矩阵，称之为传感矩阵。线性投影的关键问题是为信号选取一个平稳的观测矩阵①，使得N维的原始信号压缩为M维的测量时，原始信号的重要信息不会损失掉或者破坏掉，只有这样-d‘能保证信号重构的精确性。但是，信号的重构是要从M维的观测向量Y中重构出N(M