西南民族大学经济学院毛瑞华微积分(~下)

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1、§7.6多元函数的极值(一)多元函数的无条件极值定义7.7设f(x,y)在点P0(x0,y0)的某领域O(P0)内有定义,(x,y)O(P0),f(x,y)f(x0,y0),f(x,y)f(x0,y0)则称f(x0,y0)是f(x,y)的一个极小值(极大值),称点(x0,y0)是f(x,y)的一个极大小值点(极大值)点.1定理7.7(必要条件)设z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处的偏导数存在,若(x0,y0)是f(x,y)的一个极值点,则必有fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0.的点为z=f(x,y)的驻点.满足条件可微函数的极值点一定是驻点,但驻

2、点未必是极值点.2定理7.8设f(x,y)在点P0(x0,y0)的某领域内有连续的二阶偏导数且(x0,y0)是f(x,y)的驻点,记那么有下列结论成立:(1)当B2-AC<0时,(x0,y0)是f(x,y)的极值点,且A>0时,f(x0,y0)是f(x,y)的极小值;A<0时,f(x0,y0)是f(x,y)的极大值。(2)当B2-AC>0时,(x0,y0)不是f(x,y)的极值点。34例2求函数的极值。解:解方程组因此因此f(x,y)在(1,1)取得极小值f(1,1)=-5。5例3求函数f(x,y)=-3xy-x3+y3的极值。解:解方程组得f(x,y)的驻点(0,0),(

3、1,-1).由于因此点(0,0)不是f(x,y)的极值点。6在(1,-1)处有因此点(1,-1)是f(x,y)的极大值点,且有极大值1。7闭区域D上的连续函数一定有最大值和最小值。根据问题的性质可知：函数f(x)的最大(小)值一定在区域D的内部取得,并且f(x)在D的内部只有一个驻点,则可以断定该驻点处的函数值就是f(x)在D上的最大(小)值,从而f(x)在D上的最小(大)值只能在区域D的边界上取得。8例4求函数f(x,y)=sinx+siny-sin(x+y)在有界闭区域D上的最大值和最小值，其中D是由直线x+y=2,x轴和y轴所围成的有界闭区域。解:解方程组得f(x,

4、y)的驻点(0,0),(0,2),(2,0),(2/3,2/3).显然只有点(2/3,2/3)闭区域内部。由于9在点(2/3,2/3)处有因此f(x,y)在D内惟一驻点处取得极大值因而函数在此驻点处也取得最大值。函数必然在区域的边界上取得最小值,在边界上,有f(x,y)=0,因此函数有最小值0.10例5某公司在生产中使用甲、乙两种原料,已知甲和乙两种原料分别使用x单位和y单位可以生产Q单位的产品,且Q=Q(x,y)=10xy+20.2x+30.3y-10x2-5y2已知甲原料单价为20元/单位,乙原料单价为20元/单位,产品每单位售价为100元,产品固定成本

5、为1000元。求该公司的最大利润。11解设公司的最大利润为L,则L(x,y)=100Q(x,y)-(20x+30y+1000)=100xy+2000x+3000y-1000x2-500y2-1000解方程组求得惟一驻点(5,8).12在点(5,8)处有因而L(x,y)在(5,8)处取得极大值L(5,8)=16000,也是最大值,即公司的最大利润为16000元.13二、条件极值问题:求函数z=f(x,y)在条件(x,y)=0下的极值.条件极值:称求函数z=f(x,y)在条件(x,y)=0下的极值问题为条件极值问题.14拉格朗日乘数法设f(x,y),(x,y)在区域D内有

6、二阶连续偏导数,求z=f(x,y)在D内满足条件(x,y)=0的极值,可转化为求拉格朗日函数L(x,y,)=f(x,y)+(x,y)的无条件极值.L(x,y,)的极值一定是函数z=f(x,y)在条件(x,y)=0下的极值.15L(x,y,)的极值一定是z=f(x,y)在条件(x,y)=0下的极值.(1)若L(x,y,)在P0(x0,y0,0)处取得极大值,则f(x,y)在点P0(x0,y0)处也取得极大值.由极值的必要条件,有16且在P0(x0,y0,0)处的某一领域内,有:L(x,y,)L(x0,y0,0)即f(x,y)+(x,y)f(x

7、0,y0)+0(x0,y0)因此在条件(x,y)=0下,考虑到(x0,y0)=0下,有f(x,y)f(x0,y0)即f(x,y)在点(x0,y0)处取得最大值;17(2)若f(x,y)在P0(x0,y0)处取得满足条件(x0,y0)=0的极大值,则L(x,y,)在P0(x0,y0,0)处也取得极大值。由隐函数存在定理,由方程(x,y)=0可确定连续可导函数y=(x),因此函数z=f(x,y)可表示为y=f[x,(x)]从而函数z=f(x,y)可在(x0,y0)处取得最大值即等价于在x=x0处取