数学模型数学论文指导尾数法公平席位

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1、席位分配问题的相对尾数法王秀莲(天津师范大学数学科学学院，天津300074)摘要:本文给出了席位分配问题的一个新方法一一相对尾数法，并在两部门情形下证明了该方法满足Young的两条公理，对多部门的情形，通过算例表明了其可行性和有效性。关键词：席位分配；相对尾数法1、引言公平的席位分配是人类社会屮相当普遍的一类权益分配问题，这个问题來源于美国众议院议员在各州的名额分配问题。1790年美国亚历山大•汉密尔顿(Hamilton)提岀了一种方法，即n个部门分配名额时多余名额优先选取比例中小数部分较大的部门，即［1］中提到的比例加惯例法。1880年美国数学家乂提出了分配问题的“Q■值方法”(文［1］

2、)。我国学者们也潜力于研究公平分配问题，文［4］用新的“相对不公平”原则作为准则，提出了新0值法；；文［5］用最大嫡作为席位分配的准则，提出了最大嫡法；文［6］用每席位代表人数与平均每席位代表人数的偏差平方和最小作为准则，提出了遗传算法；文［7］研究了一种新法一龙2拟合法。文［8］也用每席位代表人数与平均每席位代表人数的偏差平方和最小作为准则，又提出了0-1整数规划方法。文［9］用非完全分配的概念，提出了最小极差法。文［10］从概率论的角度出发，用最大概率作为席位公平分配的准则，提出了最大概率法。在许多的解法中，由于衡量“公平度”的标准不同，其结果也往往不一致。对衡量“公平度”的标准，美国

3、两位学者M.L.Balinsky和H.P.Young于1974年提岀了五条公理(文［2］),文［1］中指出满足Young的公理中两条理想化原则(1)每个部门分配的名额都是取按比例的向下取整或向上取整。(2)总名额的增加不会使得某部门的名额减少。的分配方案还没有找到。本文通过定义相对尾数，提出了满足上述两个理想化原则的一个合理而简单的分配方案一一相对尾数法。对两个部门的情况，本文给岀了严格的证明，对三个及以上的情况本文给岀了详细的叙述，并通过实例说明其可行性。2、席位分配问题的相对尾数法问题：设有k个部门，每个部门的人数分别为gi=l,2,…,k,总人数72=卩+农2+…+%,待分配的席位为

4、m,理想化的席位分配结果为Pi(i=,2,…,k),满足肌=乞门，记Qi=—=显然，若qt(Z=l,2,…，灯全为整数时,应有p・=幺0=1,2,…,幻,当q,(i=l,2,・・・,k)不全为整数时，需要确定同时满足下列公理的公平分配方案：公理1.<0丄i=12…，4即A取［⑺L或［如+，其中［x］_=［x］,［用+=［兀］+1,国表示兀的整数部分。公理2>口（％耳,兀2,）5□（加+1,®,〃2,…,®）/=1,2,£，即总席位增加时，各个部门的席位数不会减少。公理1显然满足Young公理的公理IV（公平分摊性），公理2显然满足Young公理的公理I（人口单调性）和公理III（名额单调

5、性）解决方法：定义：设总人数为n,总席位数为m,第,个部门的人数为心，令心=土?T色加]=4_[如，称其为对第，个部门的绝对不公平值。令刁=丄，称其为对第，个部门的相对不公平值，或称为相对尾数。由于人口数是整数，为使分配公平，需所有的rz越小越好，所以公平的分配方案应该是最大的7；达到最小，亦即所有的7；•达到最小。为方便起见，首先考虑只有两个部门伙=2,卩+722=比）的情况，并且n^n2,④和的不全是整数（实际上，它们同为整数或小数）。记（x）=x-[x],即（兀）为兀的小数部分。若将总席位数加增加为m+1时，对应的卩记为门，耳记为rz.定理、满足公理1、2的分配方案为：（1）若斤=八

6、，且（—777）>（―m）,则取p{=[—m]+1,=L—（即nnn~n“比例加惯例”的方法）。(2)若斤>氐，则取，p、=[―m]+1，P2=[—m]nn(3)若斤<乙，，则取，P]=[^-m],Pr=[—m]+lnn证明:理想化原则1显然成立，下证原则2也成立<1>若（彳加）+乞1,则nnP>I—(m+1)J=I—mJ+[(—m)+—Jnnnnp2nL—+m=p2nn<2>若(彳加)+〈vlnn当q=g且(>(—m)时，n}[—m]=[—m],从而nnn~nnnn即nx>n2,丁'是：(—m)+—<(—m)+—<1nnnn所以有：[也~(加+1)]=[也■加]+[(也■加)+也~

7、]=[“■"]nnnnn同理有：［空⑷+1)］=［空加］nn由此可得HHH_—(/??+l)-[—(m+l)J—(m+1)7=卫e=1=人+“I[%n—(m+1)一[—(m+1)]_卫U遍[—(m+X)]n；75+1)]n=(1+丄比+丄二m于是:」一=(1+丄)斤+丄[%]mmn—nnP=[」(加+1)]+1=[」加]+l=pnnp2=[—(m+1)]=[—m]=nn当人>存时,[—fn],n从而有:n{[—(m+1