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1、第36卷第4期北京工业大学学报Vol.36No.42010年4月JOURNALOFBEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGYApr.2010基于非线性状态空间投影的混沌序列消噪算法任明荣,王普,方滨(北京工业大学电子信息与控制工程学院,北京100124)摘要:针对混沌信号和噪声在状态空间中吸引子的不同表现形式,研究了一种基于非线性状态空间投影的混沌时间序列消噪算法.对仿真信号和实际测量信号都进行了实验,得到了较好的噪声消除效果.其中仿真信号是受到50%高斯白噪声污染的Lorenz信号;实
2、测信号是从孕妇腹部测得的一导联混合信号.模拟仿真和半实物仿真都体现了该算法在混沌信号消噪方面的应用价值.关键词:非线性状态空间投影;消噪;混沌时间序列;胎儿心电信号;Lorenz信号中图分类号:TN96516文献标志码:A文章编号:0254-0037(2010)04-0445-05近年来,对混沌时间序列的研究已成为一个热点问题,尤其是通过测量时间序列重构系统动力学模型、对系统进行预测分析等等.然而,在混沌序列中噪声的存在会严重影响预测、控制及对系统特性的估计.文献[1]表明,当噪声水平超过时间序列的1%
3、时,采用距离小于吸引子3%时,就不能正确估计吸引子的相关维数.因此,要进一步分析研究混沌时间序列就必须先消除混沌序列中的噪声.[2]任何噪声消除方法都假设在某一个客观标准下,可以将时间序列近似分为噪声和有用信号.传统的滤波方法(如基于频谱的傅里叶分析方法)假设有用信号频谱和噪声的频谱在不同的频率范围内,但是,对于混沌时间序列,由于其本身的频谱与随机噪声的频谱具有相同的宽频谱特征,所以传统的线性滤波方法并不适用.非线性动力学理论能较好地解决混沌时间序列消噪问题.在非线性动力学分析中相空间理论是重要工具,该
4、理论指出系统的动力学行为在相空间中表现为吸[3]引子的形式,混沌运动表现为奇怪吸引子,噪声在相空间中随机分布.在基于相空间理论的非线性时间[1][426]序列降噪方法中非线性局部投影算法是较为重要的方法,并在很多方面取得了较好的应用.1非线性局部投影算法原理[7]根据Taken定理,系统观测序列{xn}以向量xn={xn-(m-1)τ,xn-(m-2)τ,⋯,xn-τ,xn}(1)形成m维空间,只要m≥2d+1,则原动力系统的任何微分或拓扑不变量可以在重构的相空间中计算.其中,d是系统吸引子的维数,τ为
5、延时时间,m为嵌入维数.即原动力系统可以用非线性方程近似估计F(xn)=F(xn-(m-1)τ,⋯,xn,xn+1)=0(2)对式(2)在某一邻域r内局部线性化,得到(n)(n)(n)2a·R(xn-x)=0+O(‖xn-x‖)(3)(n)1(n)(n)其中,x=(n)∑xn′是延时矢量xn在邻域u中的质心,
6、u
7、是在邻域内延时向量的个数;R为
8、u
9、n′∈u(n)对角矩阵,其作用主要抑制相点的第1个元素和最后1个元素,保留稳定的中间点,因此R11和Rmm的值比(n)较大,其他Rii=1;a为方向阵.当存
10、在观测噪声时,即收稿日期:2008210220.基金项目:北京工业大学博士科研启动基金(52002011200706);北京工业大学校青年科研基金(52002011200806).作者简介:任明荣(1977—),女,辽宁东港人,讲师.©1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net446北京工业大学学报2010年yn=xn+δn(4)式(3)变为(n)(n)a·R(y
11、n-y)=εn(5)(n)即存在一个误差εn.式(5)说明,由于噪声在相空间中随机分布,使得吸引子在相空间中a方向上不能被局部线性化.当非线性动力系统没有受到噪声污染时,系统可以用m0维空间描述;当受到噪声污染时维数会增加变成m维(m>m0).因此在子空间Q=m-m0中存在的延时向量yn一定是受到了噪声的干扰,没有受到q干扰的xn是不会延伸到这个空间中.所以,在该子空间中存在互相正交的向量a,q=1,⋯,Q能分别满足式(3)、(5).确定该空间,并修正存在于该空间的延时向量yn就可以达到消噪的目的.Q(
12、n)(n)qq局部投影算法就是将zn=R(yn-y)在子空间Q中投影,该投影为z0=∑〈zn,a〉a.为确定该q=1Qqqqqq′子空间需要保证∑∑〈zn′,a〉a最小,同时,向量a,q=1,⋯,Q为单位正交向量,即,a·a=0,n′∈u(n)q=1q≠q′.于是该问题就变成了一个有约束条件的最小值计算.可以用拉格朗日乘子法解决QQqqqqqL=∑∑〈zn′,a〉a-∑λ(a·a-1)(6)n′∈u(n)q=1q=1求解该方程,对每个q有q
