弹性力学 第四章 平面问题的极坐标解答

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1、第四章第四章平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答要点：（1）极坐标中平面问题的基本方程：——平衡微分方程、几何方程、物理方程、相容方程、边界条件。（2）极坐标中平面问题的求解方法及应用应用：圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形体、半无限平面体等的应力与变形分析。主主要要内内容容§4-1极坐标中的平衡微分方程§4-2极坐标中的几何方程与物理方程§4-3极坐标中的应力函数与相容方程§4-4应力分量的坐标变换式§4-5轴对称应力与相应的位移§4-6圆环或圆筒受均布压力§4-7压力隧洞§4-8圆孔的孔口应力集中§4-9半平面体在边界上受集中力§

2、4-10半平面体在边界上受分布力§4-1极坐标中的平衡微分方程1.极坐标中的微元体Oxθσ体力：k,krθτrθdθPθr应力：σr(r+dr)dθdrAτPA面σ,τrθ∂τrθθrk+θdrrτrθrdθB∂rPB面σ,τkrrθθ+∂σθC∂σrBC面σdθσ+drθyr∂θ∂r∂τ∂σθrθτ+dθ∂τσ+dθθrθrθτ+dθ∂θθr∂θ∂θ应力正向规定：∂σr正应力——拉为正，压为负；AC面σr+dr∂r剪应力——r、θ的正面上，与坐标方向一致∂τrθ时为正；τ+drrθr、∂rθ的负面上，与坐标方向相反时为正。O2.

3、平衡微分方程xθσrθτ考虑微元体平衡（取厚度为1）：dθPθrσr(r+dr)dθ∑Fr=0,drAτ∂τrθrk+θdrdθrτrθ−σrdθ−τrdrcosrdθB∂rrθk2θ∂τdθθrC∂σ++()τθddrcosrθryσr+dr∂θ2∂r∂τ∂σθr∂σθrτ+dθσ+dθθr+(σ+dr)(r+dr)dθrθ∂θ∂r∂θ⎛⎞∂σdθθddrsin−+⎜⎟σθθ2⎝⎠∂θdθ+=0−σdrsinkrrdrdθθ2O2.平衡微分方程xθσrθτ考虑微元体平衡（取厚度为1）：dθPθrσr(r+dr)dθ∑Fr=0,d

4、rAτ∂τrθrk+θdr∂τrτrrθθ−σrdθ−τrdr+(τ+dθ)drrdθB∂rrθθrk∂θθ∂σr∂+(σr+dr)(r+dr)dθCσr∂ryσr+dr∂r∂τ⎛∂σ⎞dθ∂σθrθθτ+dθ−⎜σ+dθ⎟drσ+dθθrθθ⎝∂θ⎠2∂θ∂θdθ+=0−σdrkrrdrdθθ2（高阶小量，舍去）将上式化开：∂τ∂σ∂σθrrr2−σrdθ+dθdr+σrrdθ+rdrdθ+σdrdθ+()drdθrr∂θ∂r∂rdθ⎛∂σ⎞dθdθθ−σdr−⎜dθ⎟dr−σdr+krdrdθ=0θ2θ2r⎝∂θ⎠2O∂σ∂τ

5、rxrθ+θ+rdrdθ+dθdrσrdrdθσrθ∂r∂θτrdθPθσr(r+dr)dθ−σdrdθ+krdrdθ=0θrdrAτ∂τrθrk+θdr两边同除以rdrdθ：rτrθrdθBk∂rθ∂σ1∂τσ−σrθrrθk+++r=0C∂σ∂rr∂θr+rdryσr∂r∂τ∂σθrθτ+dθF=0,σ+dθθr∑θθ∂θ∂θ⎛∂σθ⎞⎛∂τrθ⎞⎜σθ+dθ⎟dr−σθdr+⎜τrθ+dr⎟(r+dr)dθ−τrθrdθ⎝∂θ⎠⎝∂r⎠⎛∂τ⎞dθdθθrkrdrd+⎜τ+dθ⎟dr+τdr+θθ=0θrθr2⎝∂θ⎠2两边

6、同除以rdrdθ，并略去高阶小量：1∂σ∂τ2τθrθrθ+++k=0r∂∂rrθθOM=0,x∑θσrθτrdθ⎛∂τ⎞rdθdθPθrθrτdr⋅+⎜τ+dθ⎟dr⋅σr(r+dr)dθθrθr2⎝∂θ⎠2drAτ∂τrθrdrk+θdrrτrθ−τrdθ⋅rdθB∂rrθk2θ⎛∂τrθ⎞drC∂σr−⎜τrθ+dr⎟(r+dr)dθ⋅yσr+dr⎝∂r⎠2∂r∂τ∂σθrθτ+dθσ+dθθrdθrdθθ∂θ−σdr⋅⋅∂θθ22⎛∂σ⎞dθrdθ++θ⎟⋅⋅=0⎜σdθdrθ∂22⎝θ⎠∂τrdθdθ3+θrdr⋅d−r

7、d⋅drτdr⋅rdθθτrθ−τ⋅()drθrθrθ∂θ22()34∂τ2dθ∂τdr∂σ(dθ)rθrθθ−r()dr−dθ+dr=0∂r2∂r2∂θ4∂τrdθdθ3+θrdr⋅d−rd⋅drτdr⋅rdθθτrθ−τ⋅()drθrθrθ∂θ22()34∂τ2dθ∂τdr∂σ(dθ)rθrθθ−r()dr−dθ+dr=0∂r2∂r2∂θ4两边同除以rdrdθ()2∂τdθ∂σdθθrθτ++θr∂θ2∂θ4()2()2∂τdrτdr∂τ1drrθrθrθ=τ+++rθ∂r2r2∂rr2当dr,dθ→0时，有τr=τr——剪应

8、力互等定理θθOxθσrθτdθPθrσr(r+dr)dθdrAτ∂τrθrk+θdrrτrθrdθBk∂rθC∂σryσr+dr∂r∂τ∂σθr于是，极坐标下的平衡方程为：θτ+dθσ+dθθrθ∂θ∂θ∂σ1∂τσ−σrθrrθk+++r=0∂