对数正态分布(log-normal distribution)

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1、对数正态分布对数正态分布机率密度函数μ=0累积分布函数μ=0参数值域概率密度函数累积分布函数期望值中位数eμ众数方差偏态峰态熵值动差生成函数(参见原始动差文本)特征函数isasymptoticallydivergentbutsufficientfornumericalpurposes在概率论与统计学中，对数正态分布是对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。如果X是正态分布的随机变量，则exp(X)为对数分布；同样，如果Y是对数正态分布，则ln(Y)为正态分布。如果一个变量可以看作是许多很小独立因子的乘积，则这个变量可以看

2、作是对数正态分布。一个典型的例子是股票投资的长期收益率，它可以看作是每天收益率的乘积。对于x>0，对数正态分布的概率分布函数为其中μ与σ分别是变量对数的平均值与标准差。它的期望值是方差为给定期望值与标准差，也可以用这个关系求μ与σ目录 [隐藏] ·1与几何平均值和几何标准差的关系·2矩·3局部期望·4参数的最大似然估计·5相关分布·6进一步的阅读资料·7参考文献·8参见[编辑]与几何平均值和几何标准差的关系对数正态分布、几何平均数与几何标准差是相互关联的。在这种情况下，几何平均值等于exp(μ)，几何平均差等于exp(σ

3、)。如果采样数据来自于对数正态分布，则几何平均值与几何标准差可以用于估计置信区间，就像用算术平均数与标准差估计正态分布的置信区间一样。置信区间界对数空间几何3σ下界μ−3σ2σ下界μ−2σ1σ下界μ−σμgeo/σgeo1σ上界μ+σμgeoσgeo2σ上界μ+2σ3σ上界μ+3σ其中几何平均数μgeo=exp(μ)，几何标准差σgeo=exp(σ)[编辑]矩原始矩为：或者更为一般的矩[编辑]局部期望随机变量X在阈值k上的局部期望定义为其中f(x)是概率密度。对于对数正态概率密度，这个定义可以表示为其中Φ是标准正态部分的

4、累积分布函数。对数正态分布的局部期望在保险业及经济领域都有应用。[编辑]参数的最大似然估计为了确定对数正态分布参数μ与σ的最大似然估计，我们可以采用与正态分布参数最大似然估计同样的方法。我们来看其中用表示对数正态分布的概率密度函数，用—表示正态分布。因此，用与正态分布同样的指数，我们可以得到对数最大似然函数：由于第一项相对于μ与σ来说是常数，两个对数最大似然函数与在同样的μ与σ处有最大值。因此，根据正态分布最大似然参数估计器的公式以及上面的方程，我们可以推导出对数正态分布参数的最大似然估计[编辑]相关分布·如果Y=ln(

5、X)与，则Y∼N(μ,σ2)是正态分布。·如果是有同样μ参数、而σ可能不同的统计独立对数正态分布变量，并且，则Y也是对数正态分布变量：。[编辑]进一步的阅读资料·RobertBrooks,JonCorson以及J.DonalWales的"ThePricingofIndexOptionsWhentheUnderlyingAssetsAllFollowaLognormalDiffusion",inAdvancesinFuturesandOptionsResearch,volume7,1994.[编辑]参考文献