低通抽样定理

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1、低通抽样定理李白萍张鸣西安科技大学主要内容1.抽样定理的提出2.低通抽样定理内容3.低通抽样定理证明4.低通抽样实验5.实际应用中要注意的问题1.抽样定理的提出ft()ft()tt00(a)模拟信号(c)重建信号抽时间样ft()建s理离散重定化样抽足t满0(b)样值序列图1抽样与恢复的波形示意图抽样定理的基本意思是，如果对一个频带有限的时间连续的模拟信号抽样，当抽样速率达到一定数值时，那么根据它的抽样值就能重建原信号。也就是说，若要传输模拟信号，不一定要传输模拟信号本身，只需传输按抽样定理得到的抽样值即可。2.低通抽样定理内容一个频带限

2、制在Fm赫以内的时间连续函数f(t)，如果以Ts≤12F秒的间隔对其进行等间隔抽样，则所得的样值可以完全确m定原信号。由于抽样时间间隔相等，此定理又称均匀抽样定理。定理表明：若ft()的频谱在某一角频率以上为零，则ft()中m的全部信息完全包含在其间隔不大于12F的均匀抽样序列里。m换句话说，在信号最高频率分量的每一个周期内起码应抽样两次1(即T2T　，T)。msmFm3.低通抽样定理证明(1)理论分析假设抽样脉冲序列是周期为T的单位冲激函数，其表示式为sT(t)(tnTs)sn抽样过程实际上是用信号ft()与抽

3、样脉冲序列相乘，因此已抽样信号ft()表示式为sft()ft()()tsTs令ft()和fs(t)的频谱函数分别是F()和Fs()，T(t)是周期s性的单位冲激函数，其频谱函数为()，即s2s()s(ns)sTns所以，按频域卷积定理可得1F()F()()s2s12F()(ns)2Tsn1F(ns)Tsn上式表明，已抽样信号频谱F()是低通信号频谱F()以抽样s速率为周期进行延拓形成的周期性频谱，它

4、包含了F()的全部信息。(2)图解法时域频域ft()F()t00mm(a)原信号波形(b)原信号频谱Ts(t)s()t3Ts2TsTs0Ts2Ts3Ts2ss0s2s(c)抽样脉冲序列波形s2mF()(d)抽样脉冲序列频谱s2ft()smF()ssts2mF()3Ts2TsTs0Ts2Ts3Tss2s0s2smms(e)已抽样信号波形(f)已抽样信号频谱图2抽样过程的波形及其频谱（理想抽样）由图2可见，当2，即抽样间隔T12F时，已抽样

5、信号smsm频谱无混叠现象。因此只要让信号通过一个截止频率为m赫的理想低通滤波器，就可以从已抽样信号中无失真的恢复原始模拟信号。图3所示为信号的抽样与恢复过程。ft()ft()ft()ft()ss()tTs图3抽样与恢复1T——最大抽样时间间隔，称为奈奎斯特间隔。s2Fmf2F——最小抽样速率，称为奈奎斯特速率。sm4.低通抽样实验例：原始信号为2ft()50Sa(200)t现分别用100Hz、128Hz和200Hz三种频率对其进行抽样，绘出原(a)抽样频率为100Hz始信号和已抽样信号的波形及其频谱。分析：由题意可知，原始信

6、号的(b)抽样频率为128Hz最高频率为64Hz，因此用100Hz抽样时，会发生频谱混叠，抽样频率为128Hz和200Hz时，满足低通抽样定理，此时通过低通滤波(c)抽样频率为200Hz器可以完全确定原信号。图4抽样实验5.实际应用中要注意的问题(1)抽样前，加截止频率为Fm的低通滤波器，滤除Fm赫以上的频谱成分，从而消除混叠现象和避免由此引起的失真。(2)抽样时，抽样速率fs要比2Fm大，一般取fs(2.53)Fm。因为实际应用中使信号恢复的低通滤波器不可能是理想的。(3)抽样时，采用的抽样脉冲序列一般都是高度有限，宽度很窄的脉冲

7、序列。因为在实际应用中，理想抽样所需的周期性单位冲激脉冲是不可能实现的。请多指正谢谢各位老师