基于广义线性混合模型的经验费率厘定

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1、万方数据第24卷第7期Vd．24No．7统计与信息论坛Statistics&InformationForum2009年7月Jul．，2009【统计应用研究】基于广义线性混合模型的经验费率厘定康萌萌(中国人民大学统计学院，北京100872)摘要：信度模型是非寿险精算学中最为重要的成果。从20世纪初至今，信度理论先后经历了两个发展阶段：一是早期的有限波动信度模型；二是目前的最大精确信度模型。有限波动信度模型强调结果的稳定性，而最大精确信度模型强调结果的精确性。因此建立信度模型与广义线性混合模型之间的联系

2、，通过对信度模型的分解可以看到：传统的信度理论对风险的刻画方法与广义线性混合模型的结构有极其相似的地方，故可以用广义线性混合模型来厘定经验费率。关键词：经验费率厘定；广义线性混合模型；信度理论中图分类号：F224．0文献标志码：A文章编号：1007—311612009)07—0051—06一、引言从20世纪80年代开始，广义线性模型在精算中的应用得到迅速发展，其应用涉及精算学中的各个领域。Haberman从六个方面对广义线性模型在精算中的应用作了详细的论述【l】1。经典的线性回归模型是建立在随机误差

3、项为正态分布、方差为常数的假设基础上。然而在精算实践中，数据往往显示出非常数方差的趋势，并且用于描述索赔额等变量的分布通常具有很厚的右尾，且变量也不再局限于对解释变量的线性依赖。因此在这些情况下，经典线性模型不再适宜作为精算统计模型，而广义线性模型的建立，极大地推动了以统计方法为基石的精算学的发展。广义线性模型中一个重要的假设是样本间的相互独立性。但在实践中，由于纵向数据、集群数据的存在，使这一假设遭到破坏。因此对于此类数据，需要用一种更适合的工具来进行统计建模。广义线性模型的两个拓展模型可以处理此

4、类数据：一个是广义估计方程，另一个是广义线性混合模型。广义估计方程是对广义线性模型限制性拟似然方程的扩展，把二阶方差成分直接引入限制性拟似然估计方程中，所以方程中多了方差成分的参数(2】2；广义线性混合模型是在线性预测中引入随机效应以反映样本问的相依性。笔者在本文中主要使用广义线性混合模型。Laird和Ware首次引入线性混合模型，并已经被广泛应用于纵向数据研究中[31；Verbeke、Mohn．berghs和Demidenko对线性混合模型进行了详细地介绍[4-51；Frees等人将5种基本信度模

5、型表示为线性混合模型的形式，用最小无偏估计量估计信度保费【6J。线性混合模型是通过在均值中加入随机效应，实现了对古典线性模型的推广，而广义线性混合模型则是通过在线性预测部分引入随机效应推广了广义线性模型。随机效应的引入主要反映了不同对象之间的异质性以及同一对象不同观测之间的相关性。McCulloch、Sede【7]和Demidenko分别对广义线性混合模型进行了详细的介绍；Nelder、VerraU将分层广义线性模型用于信度理论中，得到信度公式与Bayes方法分析的结果相似【81；Frees等人用面

6、板数据研究了三种特殊保险险种的定价问题[91；Anto-nio、Beirlant将广义线性混合模型应用于信度理论中【loJ。在以上学者的研究中都是假设索赔次数服从泊松(Poisson)分布。国内学者贺宝龙，唐湘晋也是在因变量服从泊松分布的假设下，用广义线性混合模型厘定信度保费的[111；卢志义等人介绍了广义收稿日期：2009一02—14；修复日期：2009一05一06作者简介：康萌萌(1982一)，女，山东泰安人，博士生，研究方向：风险管理与精算。51万方数据统计与信息论坛线性混合模型在非寿险精算应

7、用中的最新动态[12]。从上面的分析来看，对广义线性混合模型厘定费率的研究只是近几年的事情，国内外对此问题研究的学者不多，其研究中都存在一个问题，即在研究索赔次数时，仅假设索赔次数服从泊松分布。我们知道泊松分布的特点之一是方差等于均值，然而在实际中索赔次数往往具有过离散的特征，即方差大于均值。导致过离散的原因可能多种多样，譬如由于保险公司和保单持有人增强了风险防范意识，大多数保单不会发生保险事故；或者因为保险公司应用了免赔额或者无赔款折扣等条款，许多被保险人在发生轻微事故时不会提出索赔；或者个别被保

8、险人的风险太大，其索赔频率远远高于总体的平均水平。在这些情况下，如果仍然使用泊松广义线性混合模型，可能会低估参数的标准误差，高估其显著性水平，从而在模型中保留多余的解释变量，最终导致不合理的费率厘定结果。为了克服这种不足，本文使用两种调整过离散的方法：一是在泊松方差函数中加入一个离散参数；二是用负二项分布调整过离散。同时，使用极大似然估计中的(Restricted)Pseudo—likelihood((I也)PL)方法和(Adaptive)Gauss—Hermiteq