考研高数习题集(上)

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1、第二讲:导数及应用单元一:定义求导1.设,求:[][]2.设可导,,求:3.设,求:.[]4.设,求:.[]5.设,并且可导,求.6.满足:,求:.[]7.若在处有:,则在处有:[]8.求,其中分别为:(1),连续;[](2),连续,;[]37(3),有界.[]9.,求:.[不存在]10.在上满足:(1)(2),证明:.[]11.问在处是否连续?可导?(1)[](2),其中有界[](3)[](4),且.[]12.奇函数在处可导,问:在处是否连续?可导?[]13.设且在处可导,令,求[14.设函数在上连续,又,,证明:对满足

2、的一切,.3715.考察函数在处的连续性,可导性,以及的连续性.[]16.若有连续的导数,且,设,确定常数,使连续,并问此时是否连续?[]单元二:公式与法则1.设,且,求:.[]2.在处具有连续导数,且,求.[]3.可导,,求:[]4.求:(1)[](2)[](3)[](4)[]375.求:(1)[(2)[](3)[](4),求[]6.,求.使存在.[]7.选定参数,使立方抛物线:,与曲线光滑连接起来.[][]8.,问为何值时,可导,并求9.(1),求.[](2),求.[](3),求;[](4),求:.[]3710.(1)

3、,求[](2),求(3),求:.[]11.设,证明:.[]单元三:特殊求导法1.确定,证明:单调,并求[]2.设,求其反函数的导数[]3.由方程确定,求.[]4.,求:.[]5.,求:.[]6.由方程确定,求[]7.,:可导,求.[]378.已知,而是由方程所确定的的函数,求:.[]9.可导单调,,,由,求[,]10.设函数由等式所确定,求:。[]11.由确定的隐函数为,求:。[]12.单调可导,其反函数为,且已知求13.,求14.求:(1);[](2).[]15.设由:确定,考察在相应于处的可微性37单元四:斜率与切线1

4、.求对数螺线:在点处的切线方程.[]2.求与的公切线方程.[]3.问:曲线与曲线在哪些点相切,哪些点直交.[相切:;直交:]4.为周期为的连续函数,它在的某个邻域内满足:其中是当时比高阶的无穷小量,且在处可导,求曲线在点处的切线方程.[,]单元五:单调性与极值1.设试考察:(1)定义域内连续性;(2)单调性;(3)[,连续;(2)递减;(3)]2.设为已知的连续函数,令,其中,则的值:依赖于,不依赖于;依赖于和;依赖于和,不依赖于;依赖于和.373.函数的单调减少区间为?[连续!,递减]4.由:所确定,求的单调区间.[]5

5、.上二阶可导,且,证明在内递增.[]6.设在内连续,且,求证:当时单调增加.[]7.三数:中哪个最大?8.设,判断:与的大小.[]9.设可导函数,大于零,,且,则:[];;10.考察的单调性.[]3711.讨论函数在区间内的单调性与极值.[]12.设三次函数有两个极值点及其对应的两个极值均为相反数,则函数图形关于什么对称?[奇函数]13.满足:,求的极值14.求的极值’[]15.在上连续,,求驻点和极值点.[驻点:极小值点:;极大值点:]16.在处连续,,问:是什么点?[极大值点]17.已知在点的某邻域内连续,且,则处必:

6、[]不可导;可导,但;取到极小值;取到极大值18.求,使仅有两个相异负值驻点,且有唯一极值点[]19.求的极值点.[极小值点；极大值点][]37单元六:单调性应用1.设,(为自然数),(1)求;(2)证明:.[;(2)]2.在上正值连续,求的最小值.[最小值:]3.求的最大值.[]4.设连续,且,令,(1)证明:递增;(2)求的最小值;(3)若的最小值为:,求,5.设,又设是它的最大实根,则满足:;;;6.,设,证明:7.(1)证明方程在内有且仅有两个不同实根.[]37(2)考察在内根的个数.[偶,单调异号,:二根](3)

7、考察方程:根的个数.[(一个根)](4)考察方程根的个数.[:二根](5)证明:恰有两个根.[为唯一驻点,](6)对的不同取值,确定方程在内根的个数,并加以证明[(1):无根;(2):一根;(3):二根]8.(1)直线经过,且使的值最小,求之值.[](2)在和之间求值,使得所围的面积最小.[](3)过点引直线,若它在两个坐标轴上截矩为正,求使截矩之和最小的直线.[设:]9.(1)是上定点,是该曲线另一分支上的动点,求线段长度最短的点的坐标.[](2)设曲线与直线相交于两点,又为曲线弧上任一点,求面积的最大值.37[](3)

8、求点到曲线上的最近距离.[]10.证明不等式:(1);[](2);[](3).[](4)[](5),.[](6).[]11.证明:当时,(1).[,](2).[,]12.在上可导,且,证明:.[]13.设在上连续,内可导,,证明:37[]14.确定函数的单调区间,并证明:,有.[]15.可导,恒正,,且