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1、微分中值定理及其应用摘要：微分中值定理不仅是微分学的基本定理,而且它是微分学的理论核心.本文主要介绍微分中值定理在等式的证明、不等式的证明、方程根的存在性以及求近似值等中的应用.关键词：等式证明;不等式证明;方程根存在性;近似值1引言微分中值定理是微分学的基本定理,在数学分析中有重要的地位,在微积分教学与研究中具有承前启后的作用,是研究函数在某个区间内的整体性质的有力工具.本文是以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理三个定理为研究对象，主要介绍微分中值定理的若干推广和应用.2预备知识由于微分中值定理与连续函数紧密相关,因此有必要介绍一
2、些闭区间上连续函数的性质、定理.定理2.1（最大、最小值定理）若函数在闭区间上连续,则在上有最大值与最小值.定理2.2（费马定理）设函数在点的某领域内有定义,且在点可导.若点为的极值点,则必有.定理2.3(有界性定理)若函数在闭区间上连续,则在上有界.即$常数,使得"Î有.定理2.4（介值性定理）设函数在闭区间上连续,且.若为介于与之间的任意实数(或),则至少存在一点,使得.定理2.5（根的存在定理）若函数在闭区间上连续,且与异号（即）.则至少存在一点使,即方程在开区间内至少有一个根.定理2.6（一致连续性定理）若函数在闭区间上连续,则在闭区
3、间上一致连续.3微分中值定理的定义定理3.1（罗尔()中值定理）若函数满足如下条件：(i)在闭区间上连续；(ii)在开区间内可导；(iii),则在内至少存在一点,使得.定理3.2（拉格朗日()中值定理）若函数满足如下条件：第15页(i)在闭区间上连续；(ii)在开区间内可导，则在内至少存在一点,使得定理3.3（柯西()中值定理）设函数和满足(i)在闭区间上都连续；(ii)在开区间内都可导；(iii)和不同时为零；（iv），则存在,使得4微分中值定理的证明4.1罗尔中值定理的证明根据条件在闭区间上连续和闭区间上连续函数的最大值和最小值定理,若函
4、数在闭区间上连续,则函数在闭区间上能取到最小值和最大值,即在闭区间上存在两点和,使.且对任意,有.下面分两种情况讨论:（1）如果,则在上是常数,所以对,有.即内任意一点都可以作为,使.（2）如果,由条件,在上两个端点与的函数值与,不可能同时一个取最大值一个取最小值,即在开区间内必定至少存在一点,函数在点取最大值或最小值,所以在点第15页必取局部极值,由费马定理,有.4.2拉格朗日中值定理证明证法一：构造函数法构造辅助函数,其中.根据已知条件和连续函数的性质，我们可以知道在闭区间上是连续的，在开区间内是可导的，并且还有,所以我们可以根据罗尔定理
5、就可以得到函数在内至少存在一点,使得,即.证法二：行列式法构造辅助函数,则由此可得在闭区间上连续.由此可得在开区间内也可导.第15页又由,.可得.综上所述,可知满足罗尔中值定理的条件,则至少存在一点.使得,故.4.3柯西中值定理的证明证法一：构造函数法构造辅助函数,其中.根据提舍得已知条件和连续函数的性质，我们可以知道函数在闭区间上是连续的，在开区间内是可导的，而且还有,所以我们根据定理就可以知道在内一定存在一点,可以使得.即,故证得.证法二：行列式法构造辅助函数.第15页则.由此可得在闭区间上连续..由此可得在开区间内可导.由,.即.综上所
6、述:满足罗尔定理的条件,则至少存在一点,使得.故.第15页5微分中值定理的几何解释5.1罗尔中值定理的几何解释yABPB在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线（图5-1）.yAy=f(x)y=F(x)+f(a)y=xab-af(b)-f(a)bxaOO图5-2xb图5-15.2拉格朗日中值定理的几何解释在满足定理条件的曲线上至少存在一点,该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连续（图5-2）.5.3柯西中值定理的几何解释C(g(),f())y在曲线(其中为参数,)存在一点,使曲线过该点的切线平行于过曲
7、线两端点的弦（图5-3）.B(g(b),f(b))aaA(g(),f())xO图5-3综上所述,这三个中值定理归纳起来,用几何解释为:在区间上连续且除端点外每一点都存在不垂直于轴的切线的曲线,它们有个共同的特征在曲线上至少存在一点,过该点的切线平行于曲线端点的连线.6微分中值定理之间的关系第15页从这三个定理的内容不难看出它们之间具有一定的关系.利用推广和收缩的观点来看这三个定理.在拉格朗日中值定理中,如果,则变成罗尔中值定理,在柯西中值定理中,如果,则变成拉格朗日中值定理.因此,拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,柯西中值定理是拉格朗日中
8、值定理的推广.反之,拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例,罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例.总的来说,这三个定理既单独存在,相互之间又存在着联系.从上面的讨论中
