5.1有界线性算子的谱理论.pdf

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1、第五章有界线性算子的谱理论线性算子的谱理论是与解算子方程紧密联系的，它起源于代数方程、线性方程组、积分方程和微分方程的特征值问题.实际上在泛函分析产生的早期,Volterra、Fredholm、Hilbert等人就曾研究过这样的问题,同时它也是泛函分析中经久不衰的研究课题.本章首先讨论算子的正则性和谱的概念及其基本性质，然后着重叙述Riesz-Schauder关于紧算子的谱论和Hilbert空间上自伴算子的谱论，最后介绍谱系和谱分解问题.第22讲有界线性算子的谱教学目的：介绍有界线性算子谱的概念及谱

2、的相关性质。讲解要点：1算子的正则性与谱的定义、谱集的分类。2谱半径公式，谱集的拓扑属性。3了解凸包与张成的子空间的概念与属性。设X是线性赋范空间，Β(X)是X上全体有界线性算子构成的空间，我们已经知道Β(X)是线性赋范空间.实际上，在Β(X)中还可以引进另一种运算——算子的乘法.对于两个算子ABBX,(∈),规定1AB(x)=A(B(x)),∀x∈X.这种运算满足A(BC)=(AB)CA(B+C)=AB+AC，(A+B)C=AC+BC，k(AB)=(kA)B=A(kB)，k∈Φ.以I表示单位算子，

3、则AI=IA=A.若

4、

5、

6、

7、⋅是Β(X)上的范数，则

8、

9、AB

10、

11、≤

12、

13、A

14、

15、

16、

17、B

18、

19、，∀A,(BBX∈),由于Β(X)中能够引进乘法运算并且具有以上性质，我们称Β(X)是一个赋范代数,称I为单位元.若Β(X)还是完备的,则称其为Banach代数.Banach代数的概念也可以完全公理式地加以定义.不过,本质上说来,任何一个Banach代数都可以看成某个空间上的算子代数.前面几章我们已经接触过逆算子的概念，并且知道当A是线性算−1−1子时，若A存在，则A也是线性算子.现在我们将从Β(X)中元素的角度进

20、一步考察逆算子.−1定义1称A∈Β(X)是正则算子，若A是到上的，A存在并且是有界算子.定理1设X是Banach空间，A∈Β(X)，则以下条件等价：(1)A是正则算子.−1(2)存在B∈Β(X)，AB=BA=I.此时B即是A.(3)A是到上的并且存在α>0，

21、

22、Ax

23、

24、≥α

25、

26、x

27、

28、,∀∈xX.(4)A是一一的到上的.−1证明(1)⇒(2).若A是正则算子，A存在并且2−1−1A∈Β(X)，取B=A,则AB=BA=I.(2)⇒(3).实际上∀x∈X,令y=Ax.由BA=I知道By=BAx=x,于是

29、

30、

31、

32、

33、

34、

35、x=≤By

36、

37、

38、

39、B

40、

41、

42、

43、

44、

45、

46、

47、yB=

48、

49、

50、

51、Ax

52、

53、−1又由1

54、

55、

56、

57、

58、

59、

60、

61、=≤IA

62、

63、B

64、

65、知道

66、

67、B

68、

69、≠0.取

70、

71、B

72、

73、=α,则从上式得到1

74、

75、Ax

76、

77、≥

78、

79、x

80、

81、=α

82、

83、x

84、

85、,∀x∈X.

86、

87、B

88、

89、由AB=I知道A是到上的.(3)⇒(4).若Ax=0知道x=0,故N(A)={0}.−1(4)⇒(1).由N(A)={0}知A是一一的,于是A存在,又A到−1上,根据逆算子定理知A∈Β(X).定理2设A,B∈Β(X).−1−1−1(1)若A是正则算子,则A是正则算子并且(A)=A

90、.(2)若A,B是正则算子，则AB是正则算子并且−1−1−1(AB)=BA.**−1−1*(3)若A是正则算子,则A是正则算子并且(A)=(A).D−1−1−1证明1A正则，故A∈Β(X)并且AA=AA=I.由于−1−1−1A∈Β(X)，从定理1(2)知A正则并且A=(A).D−1−12由正则性的定义，A,B∈Β(X)，并且−1−1−1−1AA=AA=I，BB=BB=I，于是−1−1−1−1−1(BA)(AB)=B(AA)B=BB=I.−1−1−1−1−1(AB)(BA)=A(BB)A=AA=I.−

91、1−1−1故AB正则并且(AB)=BA.D−1−1*−1**3由A∈Β(X)，故(A)存在并且(A)∈Β(X).3−1−1又AA=AA=I，于是对两边取共轭得到X*−1*−1***A(A)=(A)A=I=I*.XX*−1−1*故(A)=(A).以下我们就复空间进行讨论.这是为了充分应用复解析函数的优越性质.注意对于赋范代数Β()X,关于算子A的多项式naIaA+++"aA01n总是有意义的.甚至若干个算子的(多元)多项式也是有意义的.同时∞no算子幂级数∑aAAn()=I的收敛性乃至算子函数f()A

92、的解析性n=0都可以加以定义.例如表达式∞∞nn21+AnAAeA==∑∑,sin(1)−nn==00nn!(2+1)!等在范数收敛意义下都代表Β()X中的元素.下面定理中出现的多项式和幂级数也是如此的.定理3(vonNeumann)设X是Banach空间，A∈Β(X),λ∈C,若

93、

94、A

95、

96、

97、<λ

98、，则λI−A是正则算子.niA

99、

100、A

101、

102、证明令Bn=∑i+1，不妨设=α，则0≤α<1并且i=0λ

103、λ

104、nini

105、

106、A

107、

108、

109、

110、A

111、

112、11

113、

114、Bn

115、

116、≤∑i+1≤∑i+1≤=