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1、单自由度系统的振动及matlab分析摘要：以弹簧—质量系统为力学模型,研究单自由度系统的特性有着非常普遍的实际意义。根据单自由度振动系统数学模型,利用Matlab软件设计了单自由度振动系统的数学仿真实验。通过实验可以得到单自由度振动方程的数值关键字：有阻尼自由振动、有阻尼自由振动、matlab正文：无阻尼自由振动:如图所示的单自由度振动系统可以用如下微分方程描述：图1(1-1)令，方程的通解为(1-2)式(1-2)表示了图示(1)中质量m的位置随时间而变化的函数关系，反映了振动的形式与特点，称为振动函数。式(1-2)中，a、b为积分常数，它决定
2、于振动的初始条件。如假定t=0时，质量块的位移x=x0，其速度,则即（1-3）或写成（1-4），其中A为振幅，为振动圆频率，为相位角，（赫兹）称为固有频率。固有频率与外界给予的初始条件无关，它是系统本身所具有的一种重要特性。有阻尼自由振动图2图1所示的自由振动中，由于系统的能量守恒，如果振动一旦发生，它就会持久的，等幅的一直进行下去。但是，实际上所遇到的自由振动都是逐渐衰减而至最终停止的，即系统存在阻尼。阻尼有相对运动表面的摩擦力，液体与气体的介质阻力，电磁阻力以及材料变形时的内阻力等。图2所示为考虑了阻尼的单自由度振动系统模型。其运动微分方程
3、为(2-1)令，则（2-2）其通解为（2-3）式中c1、c2为积分常数，由振动初始条件确定。令，称为相对阻尼系数或阻尼率。则式（2-3）可写为（2-4）由此可以讨论阻尼对系统的自由振动产生的影响。一、当时，称为弱阻尼状态此时，为虚数，式(2-4)变为（2-5）利用欧拉公式，式(2-5)可写为（2-6）括号内为两个简谐振动相加,即式(2-5)可写为（2-7）由式(2-7)可以看出，弱阻尼自由振动具有如下几种特性:它是一个简谐振动，振动的频率为，这是为无阻尼时系统的固有频率。一般情况下，常在0.1左右，因此对固有频率的影响不大，即认为。2.振动的振
4、幅为，其中、、皆为定值。所以振幅随时间变化的规律是一条指数递减曲线(图3)。二、当时，称为强阻尼状态此时，式(1.2.2-4)可写成图3（2-8）由于，故式(2-8)中二项指数皆为实数。又因为，故二项之指数皆为负值，所以，式（2-8）所表示的是一根指数递减曲线。这表示系统将不再产生前面所述的振动，而是产生一按指数规律衰减的曲线。三、当时，称为临界阻尼状态由于，，则有(2-9)这里cc为临界阻尼状态下的阻尼系数，称为临界阻尼系数。显然它是系统本身所具有的特性之一。由及，有。也就是说，相对阻尼系数（阻尼率）反映了系统的实际阻尼与临界阻尼的关系。在临
5、界阻尼状态下，有(2-10)其中。显然，在这种状态下不能形成振动。有阻尼自由振动响应计算与MATLAB实现根据式(2-7)、(2-8)、(2-10)编写的程序如下：functionVTB1(m,c,k,x0,v0,tf)%VTB1用来计算单自由度有阻尼自由振动系统的响应%VTB1绘出单自由度有阻尼自由振动系统的响应图%m为质量;c为阻尼;k为刚度;x0为初始位移;v0为初始速度;tf为仿真时间%VTB1(zeta,w,x0,v0,tf)绘出单自由度有阻尼自由振动系统的响应图%zeta为阻尼系数;ωn为固有频率%程序中z为阻尼系数;A为振动幅度;
6、phi为初相位clc%该循环确定输入方式是VTB1(m,c,k,x0,v0,tf),还是%VTB1(zeta,w,x0,v0,tf)ifnargin==5z=m;wn=c;tf=v0;v0=x0;x0=k;m=1;c=2*z*w;k=w^2;endwn=sqrt(k/m);%固有频率z=c/2/m/wn;wd=wn*sqrt(1-z^2);fprintf('固有频率为%.3g.rad/s.',wn);fprintf('阻尼系数%.3g.',z);fprintf('有阻尼的固有频率%.3g.',wd);t=0:tf/1000:tf;i
7、fz<1A=sqrt(((v0+z*wn*x0)^2+(x0*wd)^2)/wd^2);phi=atan2(x0*wd,v0+z*wn*x0);x=A*exp(-z*wn*t).*sin(wd*t+phi);fprintf('A=%.3g',A);fprintf('phi=%.3g',phi);elseifz==1a1=x0;a2=v0+wn*x0;fprintf('a1=%.3g',a1);fprintf('a2=%.3g',a2);x=(a1+a2*t).*exp(-wn*t);elsea1=(-v0+(-z+sqrt(z^
8、2-1))*wn*x0*wn*x0)/2/wn/sqrt(z^2-1);a2=(v0+(z+sqrt(z^2-1))*wn*x0)/2/wn/sqrt
