小波相关性和相干性

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1、前言时域指标参数1.均值当观测时间趋于无穷时，信号在观测时间内取值的时间平均值就是信号的均值。均值定义为（1）式中：是信号的观测区间。实际不可能为无穷，算出的必然包含统计误差，只能作为真值的一种估计。2.均方值和方差当观测时间趋于无穷时，信号在观测时间内取值平方的时间平均值就是信号的均方值，定义为：（2）如果仅对有限长的信号进行计算，则结果仅是对其均方值的估计。均方值的正平方根，为均方根值（或有效值）。方差定义为（3）方差反应了信号中的动态部分。方差的正平方根称为标准差。若信号的均值为零，则均方值等于方差。若信号的均值不为零时，则有下列成立（4）

2、3.概率密度函数随机信号的取值落在区间内的概率可用下式表示（5）式中：为信号取值落在区间内的总时间；为总观察时间。当时，概率密度函数定义为（6）随机信号的取值小于或等于某一定值的概率，称为信号的概率分布函数。常用来表示。概率分布函数的定义为（7）式中：为信号取值满足的总时间；为总的观察时间。1相关分析1.1相关的概念在信号分析中相关是一个非常重要的概念。所谓相关，就是指变量之间的线性联系或相互依赖关系。经典的互相关用于量化两个信号和的相关程度。两个随机信号的互相关定义为：(1)式中，，，。在信号平稳的假设下若两个信号间的延迟为，则定义两个信号的互

3、相关为(2)式中，，为信号和的观测时间。互相关函数是的函数，它完整的描述了两信号之间的相关情况或取值依赖关系。式(2)说明互相关分析提供了两个信号在时域内平移时的相关度的量化方法，也提供了两信号延迟时产生的信号分量的识别方法。这种经典互相关性适用于平稳信号分析。1.2小波相关性小波互相关类似于经典的信号互相关，有效地提供了两个信号相关性对尺度的依赖程度。设两个互相关信号和，在给定尺度和时延下，x、y的小波互相关性定义为：(3)式中，和分别为和的小波变换系数。若分离小波变换系数的实部和虚部，只讨论用实部量化给定尺度下两个信号的相关程度，则小波互相关

4、定义为：(4)Sello和Bellazzini建议只考虑小波变换的实部，用小波交叉谱定义小波局部相关系数为：(5)该小波局部相关系数定义的理论基础是经典互相关和交叉小波频谱间的关系：。若考虑小波变换的实部和虚部提供的信息具有一定的联系。则小波互相关定义为：(6)式中和分别是式(3)定义的交叉小波相关性函数的实部和虚部。从经典互相关和小波互相关定义可以看出，小波互相关相比经典互相关引入了参数a，而正是这一参数的引入，使得将经典相关性只在时域内分析两个信号在不同延迟时的相关性，引入到在时频两域内分析信号的相似程度。也就是说小波互相关随尺度的变化而变化

5、，是两个信号在不同延迟时的相关性，因而能够反映出信号互相关最大时，在该频率处两个信号的延迟(相差)等信息，为探测两个信号的相似程度提供更丰富的信息，对分析两个信号的某一频率成分的相似程度有着重要的作用，实现了在时频两域内同时分析两个信号的相关性。1.3小波谱为了探测信号内涵的特征信息及尺度，引入小波谱概念。小波谱首次由Hudgins和Brunet、Colloneau提出，它是基于时域和时间尺度域间的能量守恒定义的：(7)对于连续信号，其小波谱可用小波系数的模确定：（8）对于离散信号，设其二进离散小波变换为，则有（9）说明原始信号的二范数等于小波变

6、换各层细节信号绝对值的平方和。第j层细节的能量称之为小波能量时谱。其相应的Fourier域的二进离散小波能量，称之为小波能量频谱。考虑到相移问题及工程实际应用中原始信号的实数性，可取实部进行计算，即。由以上分析可知，小波谱是小波局部谱对平移因子τ的积分，是尺度（离散化表示为）的参数，即把Fourier谱的连续频谱划分为离散的频带分量，每个频带代表特定尺度下信号的频谱信息。小波谱将小波变换和Fourier谱分析结合起来，可在时域中记录信号的突变时间，又可在频域中提取信号突变的频段，通过信号在小波变换的各分解层上的小波谱探测信号内涵的特征。2.时间序

7、列信号小波相干性分析相干函数是计算两个随机过程频谱相关性的直接方法。如果过程是平稳的，即假设它们的频谱不随时间变化，Fourier分析能够实现频谱的精确估计，同样也能给出相干性的精确估计。但它的前提是假设信号是平稳的，而且无法辨别信号的振幅和相位成分。由于实际大地测量时间序列信号受多种因素的影响，其变化过程中产生的信号是非平稳的、动态的，其内涵的特征信息的频率可能随时间而变化，表现出频率分布不均匀。因而，相干性需要作为时间函数研究，这样限制了Fourier分析的应用。为此，引入小波相干性。引入基于小波相干性的时间过程，是借鉴近来物理学中估计非平稳

8、信号互相作用的研究。与基于Fourier的一致性相比，小波相干性能够以时间函数方式进行相干性分析，因而成为研究动态信号相互作用的有效替代