2018年高考数学一轮复习专题08函数与方程教学案理

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1、专题08函数与方程1.考查函数零点的个数和取值范围；2.利用函数零点求解参数的取值范圉；3.利用二分法求方程近似解；4•与实际问题相联系，考查数学应用能力.重点知识梳理1.函数的零点仃)定义：如果函数V=f(x)在实数a处的值等于零，即f、(Q)=0,贝IJa叫做这个函数的零点.(2)变号零点：如果函数图象经过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点.(3)几个等价关系方程代方=0有实数根台函数y=f{x)的图彖与x轴有交点台函数y=f(x)有零点.2.零点存在性定理如果函数y=fx)在区间［曰，切上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即则这个函数在这个区间上，至少有一个零点

2、，即存在一点乩勿,使f(x.)=0.3.用二分法求函数fd)零点近似值的步骤第一步，确定区间［日,b,验证f(a)/(^)<0；第二步，求区间(臼，方)的中点5第三步，计算Aci):(1)若f(0)=0,则G就是函数的零点；(2)若f(a)f(ci)<0,贝ij令力=6眦时零点必丘(a,cj)；(3)若f(t>)f(ci)<0,则令a=c(此时零点必丘(°,Z?))；笫四步，判断/是否满足给定的精确度；否则重复第二、三、四步.高频考点突破高频考点一函数零点个数的判断例】、⑴函数心)七-6+二,“的零点个数是Q0⑵函数f(x)=2'

3、logo.5%

4、-1的零点个数为()A.1B.2C.3

5、D.4解析(1)当疋0时，令应—2=0,解得工=—迈(正根舍).所以在(—8,0］上有一个零点.当Q0时打0)=2+卜0恒成立，所以乐)在(0,+8)上是増函数.又因为人2)=-2+ln2<0，N?)=m3X),所以兀c)在(0,+8)上有一个零点，综上，函数人x)的零点个数为2.⑵令f{x)=2”

6、logo.5则一1=0,设咖=

7、10心

8、,心)=(扩，在同一坐标系下分别画出函数咖，力3的图象(如图).由图象知，两函数的图象有两个交点，因此函数fd)有2个零点.【方法规律】函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令fd)=0,有儿个解就有儿个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间［日

9、，刃上是连续不断的曲线，且HQ・/UX0,再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.【变式探究】/W=2sin^sin^+yj-/的零点个数为.解析f(x)=2sin%cosx~x=sin2x~xr则函数的零点即为函数y=sin2x与函数y=+图象的交点，如图所示，两图象有2个交点，则函数有2个零点.高频考点二、函数零点所在区间的判断例2、⑴若a

10、lb,c)和(c,+°°)内D.(—8,日)和(C,+8)内⑵设fx)=lnx+x—2,则函数f(x)的零点所在的区间为(0.(3,4)A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)解析(l)T*Z?0,f(方)=(方_c)(b—a)<0,f(c)=(c—a)(c—方)>0,由函数零点存在性定理可知：在区间方)，(力，c)内分别存在零点，又函数fd)是二次函数，最多有两个零点；因此函数fd)的两个零点分别位于区间(日，6),(方，c)内，故选A.(2)法一函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(0=lnx、力(/)=—”+2图象交点的横坐标所在的

11、取值范围.作图如下：可知f(x)的零点所在的区间为(1,2).法二易知f(/)=ln丸+兀一2在(0,+°°)上为增函数，且/(1)=1-2=-1<0,/(2)=ln2>0.所以根据两数零点存在性定理可知在区间仃，2)内函数存在零点.答案(1)A(2)B【方法规律】确定函数代方的零点所在区问的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y=fx)在区间［日，力］上的图彖是否连续,再看是否有f@)・A/7)<0.若有，则函数y=f(x)在区间勿内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与/轴在给定区间上是否有交点来判断.【变式探究】已知函数/U)=ln$的零点为禺，则必所

12、在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析Tfd)=lnx—£•)在(0,+8)上是增函数，A2)=ln2-ln1-2<0,又Al)=ln1-n2-KO,A3)=ln3-

13、>0.故Hx)的零点Abe(2,3).答案C高频考点三、函数零点的应用例3、己知定义在R上的偶函数fd)满足且在区间［0,2］上代劝=尢若关于x的方程/(%)=log.,%有三个不同的实根，求a的取值范围.解由7^-4)