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1、三棱锥外接球球心的确定及性质作者：叶贻杰单位：广安实验中学联系电话：18782664669请看教材中这样一道典型习题：P、A、B、C是球O面上的四个点，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，求球的体积与表面积。本题由于三棱锥PABC三条侧棱相等，点P在底面ABC内的射影Q是底面中心，易证该棱锥外接球球心O必在直线PQ上，从而据勾股定理可列出一方程，直接解出球的半径。现将问题拓展为，P、A、B、C是球O面上的四个点，PA、PB、PC两两垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，求球的半径。由此三棱锥侧棱长不一定相等知，球心O不一定在经过点P垂直于底面的直线上，“射
2、影法”无法求出球的半径。现另采用三种方法探讨球心的位置与半径的大小。1补形法据三棱锥三条侧棱两两垂直，可联想到长方体同一顶点处的三条棱，从而将此三棱锥补形成一长方体。问题转化为，在长方体内找一点O，使其到四个顶点的距离相等。由长方体的性质可知，所求点即为长方体对角线的交点（如图所示）。相应地，球的直径等于长方体对角线的长，有（2R）2=a2+b2+c2（R为球半径），解得。2坐标法空间直角坐标系建立的基础，是需要有三条两两相互垂直并交于同一点的直线，分别作为三条坐标轴。鉴于此，以侧棱两两垂直的三棱锥PABC的顶点P为坐标原点，以棱PA、PB、PC为三条数轴，可建立一空间
3、直角坐标系（如图所示）。依题，顶点A、B、C的坐标依次为A（a,0,0）、B（0,b,0）、C（0,0,c）,设球心坐标为O（x,y,z），则｜OA｜=｜OB｜=｜OC｜=｜OP｜=R，即，解得，。3向量法向量是解决某些几何问题强有力的工具。给线段一定的方向，线段便演化成向量。三棱锥PABC的三条侧棱，可演变成向量，球心O与各顶点的连线演变成向量，且两两垂直，（R为球半径）。由而，有，……………………………………………………………（1）3又，得，有，………………（2），得，有，………………（3）将（1）（2）（3）三等式相加，有。同理可得，，。假设，依题，也都不为，则得
4、到三个两两相互垂直且相交的向量，同时与第四个向量垂直，而这是不可能的，说明假设不成立，即。再据，同理有，，，三式左右分别相加得，，且，，于是，，而，则，即。4的几何解释与坐标解释用向量法求球半径过程中，利用了一个重要的结论，对于三个两两相互垂直的向量，若（O为空间一点），则。这一结论，除了可以运用纯向量的手段推导外，还可以结合几何图形或者空间直角坐标系予以论证和解释。4.1几何解释据已知条件，可将点P、A、B、C均视为长方体四个顶点，将点O视为长方体对角线交点，如图所示。易知，有，即证。4.2坐标解释据已知条件，将点P看作坐标原点，将点A、B、C分别看作三条坐标轴上的点
5、，点O为空间一点（如图所示）。设A（a,0,0）、B（0,b,0）、C（0,0,c）、O（x,y,z），由前面“坐标法”的推导，有。3易知=（a-x,-y,-z）+（-x,b-y,-z）+（-x,-y,c-z）=（a-3x,b-3y,c-3z）=(-,-,-)，又=（0,0,0）－（x,y,z）=（-x,-y,-z）=(-,-,-)，故=。5小结侧棱两两垂直的三棱锥，从“两两垂直”这一特性出发，很自然地将其与长方体这一常见多面体，以及空间直角坐标系联系起来，充分利用长方体的性质，充分发挥坐标系的优势，使复杂的问题迎刃而解。用“向量法”求解本题，虽然显得繁琐，但有助于深化
6、对向量这一基础工具的认识，也可开拓解题的视野。同时，“向量法”与“补形法”、“坐标法”还存在内在的深刻渊源和联系。3
