二次函数在求解几何最值问题中应用

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1、二次函数在求解几何最值问题中应用二次函数的应用是初中数学的重点和难点，通常把它与最值问题联系在一起进行考查•下面以中考题为例说明二次函数在几何最值问题中的应用.一、求线段长的最值例1(2012年江苏扬州)如图1,线段AB的长为2,C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形AACD和ABCE,那么DE长的最小值是.图1解析：设AC=x,则BC=2-x・AACD和ABCE都是等腰直角三角形，AZDCA=45°,ZECB=45°,DC=Bx,CE=B(2—x)・•••ZDCE二90。

2、・/.DE2=DC2+CE2=(■x)2+[■•(2-x)]2二x2-2x+2二(x-1)2+1.・・•当x二1时，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1.例2(2012年宁夏)如图2,在矩形ABCD中，AB二2,AD=3,P是BC上的任意一点(P与B、C不重合)，过点P作AP丄PE,垂足为P,PE交CD于点E.(1)连接AE,当ZAPE与ZkADE全等时，求BP的长；(2)若设BP为x,CE为y,试确定y与x的函数关系式•当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？(3)若PE〃BD,试求出此时BP的

3、长.图2分析：(1)由厶APE^AADE,可得AP=AD=3.在RtAABP中，运用勾股定理即可求得BP的长.(2)由AP丄PE,得RtAABP^RtAPCE.根据相似三角形的对应边成比例可列式得y与x的函数关系式，然后化为顶点式即可求得当x二■时，y的值最大，最大值是(3)由PE〃BD,得厶CPE^ACBD.根据相似三角形的对应边成比例可列式求得BP的长.解：(1)VAAPE^AADE,AP=AD=3・在RtAABP中，AB=2,.BP=B=■二■・(2)TAP丄PE,ARtAABP^RtAPCE.・・・

4、■=■,即■二■・•Iy二一・x2+・x.•/y=-■x2+■x=-■(x-B)2+H,当火=■时，y的值最大，最大值是■.(3)设BP二x,由(2)得CE二-・x2+・x.・.・PE〃BD,/.ACPE^ACBD.・•・■=■,即■二■・将上式化简，得3x2-13x+12二0.解得xl二■或x2二3(不合题意，舍去).•••当PE〃BD时，BP二■二、求线段积的最值例3(2012年江苏苏州)如图3,已知半径为2的与直线1相切于点A,点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线1的垂线，垂足为C,PC与(DO

5、交于点D,连接PA、PB,设PC的长为x(2APMA和ZXOMB全等即可.分析：(1)连接0M,证明(2)由(1)可得0P二OA+PA二OA+OB二4,再令0A二x，AB二y，则在RtAAOB中，利用勾股定理得y2二x2+(4-x)2=2x2-8x+16=2(x-2)2+8,然后求出最值即可.解：(1)证明：连接0M.•・•在RtAPOQ中,0P二0Q二4,M是PQ的中点,・・・PQ=4・，0M二PM二・PQ二ZP0M二ZB0M二ZP二45。.JZPMA+ZAMO=ZOMB+ZAMO,・•・ZPMA=Z0MB

6、./.APMA^AOMB(ASA).二MA=MB.(2)AAOB的周长存在最小值•理由如下：VAPMA^AOMB,.IPA二0B・/.0A+0B=0A+PA=0P=4.设OA=x,AB=y,则y2=x2+(4~x)2二2x2-8x+16二2(x~2)2+8^8.・••当x二2时，y2有最小值8,从而y的最小值为2・・/.AAOB的周长存在最小值，其最小值是4+2■.四、求面积的最值例5(2012年四川自贡)如图5,正方形ABCD的边长为1cm,M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM丄MN,当BM=

7、cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为cm2.图5解析：设BM=xcm,则MC二(l~x)cm.TZAMN二90。，ZAMB+ZNMC二90°,ZNMC+ZMNC二90。，/.ZAMB=90°-ZNMC=ZMNC..••△ABMs/XMCN,・•・■=■,即■二■,解得CN=x(1-x).・・・S四边形ABCN二.XlX[l+x(1-x)]二一.x2+・x+■二一■(x-.)2+・.