《线性代数》知识点 归纳整理

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1、《线性代数》知识点归纳整理诚毅学生编01、余子式与代数余子式-2-02、主对角线-2-03、转置行列式-2-04、行列式的性质-3-05、计算行列式-3-06、矩阵中未写出的元素-4-07、几类特殊的方阵-4-08、矩阵的运算规则-4-09、矩阵多项式-6-10、对称矩阵-6-11、矩阵的分块-6-12、矩阵的初等变换-6-13、矩阵等价-6-14、初等矩阵-7-15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵-7-16、逆矩阵-7-17、充分性与必要性的证明题-8-18、伴随矩阵-8-19、矩阵的标准形：-9-20、矩阵的秩：-9-21、矩阵的秩的一些定理、推论-9-22、线性方程组概念-9-23、齐次

2、线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）-9-24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念-11-25、线性方程组的向量形式-11-26、线性相关与线性无关的概念-11-27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关-11-28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题-11-29、线性表示与线性组合的概念-11-30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题-12-31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理-12-32、最大线性无关组与向量组的秩-12-33、线性方程组解的结构-12--15-01、余子式与代数余子式（1）设三阶行列式D＝，则①

3、元素，，的余子式分别为：M11＝，M12＝，M13＝对M11的解释：划掉第1行、第1列，剩下的就是一个二阶行列式，这个行列式即元素的余子式M11。其他元素的余子式以此类推。②元素，，的代数余子式分别为：A11＝(－1)1＋1M11，A12＝(－1)1＋2M12，A13＝(－1)1＋3M13.对Aij的解释（i表示第i行，j表示第j列）：Aij＝(－1)i＋jMij.（N阶行列式以此类推）（2）填空题求余子式和代数余子式时，最好写原式。比如说，作业P1第1题：M31＝，A31＝(-1)3+1（3）例题：课本P8、课本P21-27、作业P1第1题、作业P1第3题02、主对角线一个n阶方阵的主对

4、角线，是所有第k行第k列元素的全体，k=1,2,3…n，即从左上到右下的一条斜线。与之相对应的称为副对角线或次对角线，即从右上到左下的一条斜线。03、转置行列式即元素与元素的位置对调（i表示第i行，j表示第j列），比如说，与的位置对调、与的位置对调。-15-04、行列式的性质详见课本P5-8（性质1.1.1~1.1.7）其中，性质1.1.7可以归纳为这个：＋＋…＋（i表示第i行，k表示第k列）熟练掌握行列式的性质，可以迅速的简化行列式，方便计算。例题：作业P1第2题05、计算行列式（1）计算二阶行列式：①方法（首选）：＝（即，左上角×右下角－右上角×左下角）②方法：＝＝例题：课本P14（2

5、）计算三阶行列式：＝＝(－1)1＋1M11＋(－1)1＋2M12＋(－1)1＋3M13N阶行列式的计算以此类推。通常先利用行列式的性质对行列式进行转化，0元素较多时方便计算.（r是row，即行。c是column，即列）例题：课本P5、课本P9、课本P14、作业P1第4题、作业P2第3小题（3）n阶上三角行列式（0元素全在左下角）与n阶下三角行列式（0元素全在右上角）：D＝…（主对角线上元素的乘积）例题：课本P10、作业P3第4小题有的题可以通过“从第二行起，将各行的元素对应加到第一行”转化成上三角行列式例题：课本P11-15-（4）范德蒙行列式：详见课本P12-13（5）有的题可以通过“从

6、第二行起，将各行的元素对应加到第一行”提取出“公因式”，得到元素全为1的一行，方便化简行列式。例题：作业P2第1小题、作业P2第2小题06、矩阵中未写出的元素课本P48下面有注明，矩阵中未写出的元素都为007、几类特殊的方阵详见课本P30-32（1）上（下）三角矩阵：类似上（下）三角行列式（2）对角矩阵：除了主对角线上的元素外，其他元素都为0（3）数量矩阵：主对角线上的元素都相同（4）零矩阵：所有元素都为0，记作O（5）单位矩阵：主对角线上的元素都为1，其他元素全为0，记作E或En（其行列式的值为1）08、矩阵的运算规则（1）矩阵的加法（同型的矩阵才能相加减，同型，即矩阵A的行数与矩阵B的

7、行数相同；矩阵A的列数与矩阵B的列数也相同）：①课本P32“A＋B”、“A－B”②加法交换律：A＋B＝B＋A③加法结合律：A＋（B＋C）＝（A＋B）＋C（2）矩阵的乘法（基本规则详见课本P34阴影）：①数与矩阵的乘法：I.课本P33“kA”II.＝kn（因为k只等于用数k乘以矩阵A的一行或一列后得到的矩阵的行列式）②同阶矩阵相乘（高中理科数学选修矩阵基础）：×＝-15-描述：令左边的矩阵为①，令右边的矩阵为②，令计算得到