定义、命题与证明

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1、知识点一：定义与命题在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给他们下定义（definition）如：1、“具有中华人民共和国国籍的人，叫做中华人民共和国的公民”是“中华人民共和国公民”的定义.2、“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义.3、“在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程”是“一元一次方程”的定义.4、“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”是“平行四边形”的定义.5、“角是由两条具有公共端点的射线组成的图形”是“角”的定义.综上：定义就是对名称

2、和术语的含义加以描述，作出明确的规定做一做：如图，某地区境内有一条大河，大河的水流入许多小河中，图中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K处均有一个化工厂，如果它们向河中排放污水，下游河流便会受到污染.图6－6如果B处工厂排放污水，那么__________处便会受到污染；如果C处受到污染，那么__________处便受到污染；如果E处受到污染，那么__________处便受到污染；如果环保人员在h处测得水质受到污染，那么你认为哪个工厂排放了污水？你是怎么想的？与同伴交流.在假设的前提条件下，对某一处受到污染作出了判断。像这样，对事情作出判断的句子，就叫做命题。即：命题是

3、判断一件事情的句子。如：熊猫没有翅膀。对顶角相等。类比举例：1、两直线平行，内错角相等.2、无论n为任意的自然数，式子n2－n+11的值都是质数.3、内错角相等.4、任意一个三角形都有一个直角.5、如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.综上：命题一般由条件和结论两部分组成，一般可以写成：“如果……,那么……”的形式，如果开始的部分是条件，那么后面的部分是结论；命题就是肯定一个事物是什么或者不是什么，不能同时既否定又肯定，如：你喜欢数学吗？作线段AB=a.平行用符号“∥”表示.这些句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它们就不是命题.一般情况下：疑问句不是

4、命题.图形的作法不是命题.知识点2：证明一、证明的必要性1、已知；如下图，a∥b，b∥c直线a，b平行吗?(1)请你先通过观察作出判断.你能肯定自己的判断正确吗?(2)在图24—3(1)中，再作一条直线l，使直线l与直线a，b，c都相交，如图24—3(2).用量角器测量∠1和∠2，根据∠1和∠2的大小关系，你能判定“a与b平行”这一结论正确吗?2、当n=1时，(n2－5n＋5)2=1；当n=2时，(n2－5n＋5)2=1；当n＝3时，(n2－5n＋5)2=1.由此归纳得出：当n取任意正整数时，(n2－5n＋5)2的值都是1.你认为这个命题正确吗?为什么?3、如果a＝b，那么

5、a2=b2.由此类比猜想得出：当a>b时，a2>b2，你认为这个命题正确吗?为什么?1.(1)a∥b，不能，(2)由∠1=∠2，能判断a∥b2.不正确.当n＝5时，(n2－5n＋5)2＝25.3.不正确，因为0>－1，但02<(－1)2，以上事例说明，我们经常采用观察、测量、归纳、类比的方法来探索结论，发现命题.但是，由这些方法得到的命题可能是真命题，也可能是假命题.一个命题的真假，常常需要进行有理有据的推理才能作出正确的判断.这个推理的过程叫做命题的证明(proof).我们把经过证明的真命题叫做定理(theorem).经过实践检验公认是真命题的，我们把它叫做公理(axio

6、m).如“过平面上两点，有且只有一条直线”就是一个公理.等式和不等式的性质也可以看做公理.证明命题时，仅有已知条件作为证明的基础是不够的，还需要一些公理、定义和定理作为推理论证的依据.典型例题例1、已知：如图，点C，D在线段AB上，点C是AD的中点，点D是CB的中点.求证：AD=CB.分析：由“点C是AD的中点，点D是CB的中点”，可以得到AC=CD=DB，进而可以得到AD=CB.证明：因为点C是线段AD的中点(已知)，所以AC=CD(线段中点的定义).因为点D是线段CB的中点(已知)，所以CD=DB(线段中点的定义).所以AC=DB(等量代换).所以AC+CD=DB+CD

7、(等式的性质).即AD=CB.注：在等式或不等式中，一个量可以用与它相等的量来代替，这叫做“等量代换”.在上面的证明过程中，我们根据的都是定义、性质和已知条件.在叙述中经常用到“因为”和“所以”这两个词，为了方便，今后，我们在证明时用符号“∵”表示“因为”，用符号“∴”表示“所以”.二、命题证明的格式和步骤.（明是推理论证命题的过程，要步步有据。）例1：如图，直线AB和CD相交于点O.求证：∠1＝∠2.分析：观察图，我们发现∠1，∠2都是∠AOD(或∠COB)的补角，由此便可得到∠1=∠2.证明：∵∠1＋∠AOD=