高三数学复习专题讲座：曲线的轨迹方程的求法03001

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1、2009届高三数学复习专题讲座十：曲线的轨迹方程的求法高考要求求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设屮的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点重难点归纳.』曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法(1)直接法直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.(2)定义法若动点轨迹

2、的条件符合某一基木轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求(3)相关点法根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.(4)参数法若动点的坐标(兀丿)中的兀,丿分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念典型题例示范讲解.例1如图所示，已知P(4,0)是圆?+/=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足ZAPB=9Q°,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程命题意图.本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程知识依托.

3、利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段A3中点的轨迹方程错解分析.欲求Q的轨迹方程，应先求R的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题技巧与方法对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.解设AB的中点为/?,坐标为(兀』)，则在RtAABP中，AR=PR又因为R是弦AB的中点，依垂径定理.在RtAOA/?中，AR2=AO2~

4、O/?

5、2=36-(?+/)又

6、A/?

7、=

8、P/?

9、=Jd—4)2+y2所以有(x—4)2+y2=36—

10、(%2+>,2),即4%—10=0因此点R在一个圆上，而当在此圆上运动吋，0点即在所求的轨迹上运设心myi),因为/?是PQ的中点，所以兀尸上」，严斗，代入方程/+于一4兀一10二0,得整理得这就是所求的轨迹方程例2设点A和3为抛物线y2=4px（p>0）上原点以外的两个动点，已知0A丄OB,OMLAB,命题意图知识依托.错解分析.的讨论求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程直线与抛物线的位置关系当设A、B两点的坐标分别为（兀1』1）,（兀2,旳）时,注意对"兀1=兀2”技巧与方法.将动点的坐标x、y用其他相关的量表示出来

11、，然后再消掉这些量，从而就建立了关于兀、y的关系4pa=0解法一.设人（兀J）0（X2,乃）皿（财）（x#0）直线AB的方程为x=my+a由0M丄AB,得m=~^-X所以沁…心拓器“所以，由04丄08，得X[X2=—yy2由｝?2-4px及x=my+a,消去兀，得y2—4pmy—所以/=4pa^>a=4p故x=my+4p,用m-—丄代入，得x2+y2—4/?x=0（x^0）X・以2p故动点M的轨迹方程为?+y2-4px=0a^0）,它表示以（2卩0）为圆心,为半径的圆，去掉坐标原点解法二设0A的方程为y=kx,代入y2=4px得A（^~,迢k~k则0B的方程为

12、$=-—X,代入y2=4px得BQpk2,-2pk)k/•AB的方程为$=(x-2p),过定点N(2p,g,由0M丄AB,得M在以ON为肓径的圆上（0点除外）以2p故动点M的轨迹方程为#+）,2_4咛0（兀工0）,它表示以（2#,0）为圆心,为半径的圆，去掉坐标原点解法三：设M（x,y）（xHO）,OA的方程为y=kx,代入）2二4四鈕（罟単）Jck则OB的方程为y=-—X,代入y2=4px得B（2pk，,-2pk）k由0M丄A3,得M既在以0A为肓径的圆x2+y2—3^=0①上,1Ck又在以OB为直径的圆x2^-y2-2pk2x+2pky=0……②上(O点除外

13、),①加+②得x2+y2-4px=0(x^0)故动点M的轨迹方程为/+y2_4〃x=o(xHO),它表示以(2卩0)为圆心，以2“为半径的圆，去掉坐标原点例3某检验员通常用一个直径为2cm和一个直径为1cm的标准圆柱，检测一个直径为3cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？命题意图：本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的能力知识依托圆锥曲线的定义，求两曲线的交点.错解分析正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关键.技巧与方法研究所给圆柱的截面，建立恰当的坐标系，

14、找到动圆圆心的轨迹方程设