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1、博弈论练习题第一组第一章囚徒困境与经典矩阵博弈习题集（2011年9月30日）1.（单项选择）甲乙两人各在纸片上写下“合作”或“斗争”两词，然后双方同时翻开纸片。如果两人都写“合作”，每人各得100元；若两人都写“斗争”，两人什么也得不到；若一人写“斗争”，另一人写“合作”，则：“合作”者得S，“斗争”者得T。要使“斗争”为占优策略，S和T必须是（）。A．S+T>200B．S100C．S<0,T>100D．以上都不是解答，答案为C，写出这个博弈的支付矩阵如下：乙合作斗争合作(100，100)(S,T)甲斗争(T,S)(0,0)由于这个博弈是对称
2、的，因此，只需要解其中一个人的最优反应即可（对于对称博弈而言，两个人的占优策略及其支付是完全相同的），我们不妨解乙的反应。要使“斗争”为占优策略，意味着无论甲选择什么行动，对于乙而言，斗争总是好于合作，于是，若甲选择合作，那么乙选择斗争的收益是T，选择合作的收益是100，因此T>100;若甲选择斗争，乙选择斗争的收益是0，选择合作的收益是S，要使对于乙而言斗争好于合作，则0>S。因此要选C。2.某博弈中甲乙双方各有三个策略，其相应的支付矩阵如下图所示：问：（1）甲会不会采用策略A，为什么？（2）请剔除上述支付矩阵里的占劣策略。（3）请找出该博弈的纯策略
3、纳什均衡。乙DEFA3，73，51，2甲B4，22，76，4C3，74，82，51答案：1）甲不会采用策略A，策略A是甲的劣策略，它是劣于C的。2）对于甲而言，A是一个劣策略。对于乙而言，F是一个劣策略（做到这一步即可算正确）。但当剔除了A和F这两个策略后，对乙而言，D又变成了劣策略，可以剔除。当剔除了A，F，D之后，对甲而言，B是劣策略，可以剔除。因此，纳什均衡是（C,E）（做到这一步也是正确的，且可以一并解决问题3）3）可以用重复剔除劣策略法，如上，纳什均衡为（C，E）。也可以用最优反应法（用红色数字标出），答案相同。3.（05年北京大学考研题）求
4、下列博弈的纯策略纳什均衡。这个博弈在经典矩阵博弈的名称是什么？参与人2LR参与人1U(2,6)(5,5)D(0,0)(6,2)答：步骤1：先找两人的最优反应，用划圈法。（注意：划圈的时候，要记住，如果找列参与人的最优策略，就要固定行参与人的行动。反之亦然）。步骤2：两人的最优反应的组合即是纳什均衡。即（U，L）和（D,R）（注意不要写（6，2），（2，6））。这个博弈在经典矩阵博弈中叫做“协调博弈”。4.A和B手中各有一个魔瓶，魔瓶中各有1元钱，他们可以把这1元钱从魔瓶取出放入自己的衣袋，也可以把这1元钱放入对方的衣袋。但是，如果放入自己的衣袋，这1元
5、钱会变为2元钱，如果放入对方的衣袋，这1元钱会魔术般地变为4元。（1）假设A和B互不关心，只关心自己的收益，他们各自的备选行动是“把1元钱放入自己的口袋”（可用字母D表示），“把1元钱放入对方的口袋”（可用字母C表示）（注意只有这两个备选行动，没有其他可能的行动），写出该博弈的货币收益矩阵，并解出它的占优策略均衡。（2）假设A是段誉王子，B是王语嫣姑娘，段誉非常喜欢王语嫣，在计算自己的支付时，段誉会把王语嫣的收入乘以r加在自己的收入上，而王语嫣则并不关心段誉，她只计算自己的货币收入，例如，如果段誉有x元钱，王语嫣有y元钱，则段誉的心理支付是x+ry，而
6、王语嫣的心理支付为y。如果该博弈最后的均衡结果是段誉总是往王语嫣的衣袋里放1元钱，而王语嫣也往自己的衣袋里放了1元钱，问r的取值范围是多少？（3）假设A是贾宝玉，B是林黛玉，两人互相关爱对方，因此，在计算自己的心理支付时，两人互相把对方的收入乘以r加在自己的收入上，例如，如果宝玉有x元钱，黛玉有y元钱，则宝玉的心理支付是x+ry，而黛玉的心理支付为y+rx。如果该博弈最后的均衡结果是双方都总是往对方的衣袋里放1元钱，问r的取11值范围是多少？假设﹤r﹤，那么纯策略纳什均衡解是什么？322解答：（1）这个博弈的货币收益矩阵如下：BCDC(4，4)(0,6
7、)AD(6,0)(2,2)这是一个囚徒困境博弈，该博弈的占优策略均衡是（D，D）。(2)段誉和王语嫣的心理支付矩阵如下：王语嫣CDC(4+4r，4)(6r,6)段誉D(6,0)(2+2r,2)“该博弈最后的均衡结果是段誉往王语嫣的衣袋里放了1元钱，而王语嫣也往自己的衣袋里放了1元钱”，亦即根据原题目，（C，D）是一个纳什均衡。余江锋的解法：对于王语嫣而言，D是一个占优策略，因此不需考虑王语嫣选择C策略的情况。当王语嫣选择D的时候，段誉选择C好于D，就可以使（C，D）成为纳什均衡。故令6r>2+2r,解得r>1/2。（3）宝玉和段誉的心理支付矩阵如下：黛
8、玉CDC(4+4r，4+4r)(6r,6)宝玉D(6,6r)(2+2r,2+2r)由原题目，（
