函数方程讲义

《函数方程讲义》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、-2003APMO函數方程講義張幼賢提供Mar.17,2003一、基本解法：1.變數變換法：這種方法多適用於只有一個獨立變數的情形；主要的技巧是把原來的方程式經過適當的變數變換而得到一個或多個函數方程式，使得原來的函數方程和新得到的函數方程式形成一個含有未知函數的函數方程組，然後再用消去法（或行列式法）來解這個函數方程組以得到欲求的函數。一般而言，對於函數方程其中為已知函數，如果存在一個，使得，即可用上述的方法求解。事實上，若要解函數方程（其中及是已知函數）時，可設，並在的反函數存在時，求出反函數；將它們代回原來的方程式以求出；但若為未知函數時，這個方法就不能用了

2、。【註】在使用變數變換法解函數方程時，必須力使函數之定義域不產生變化。例一：解函數方程(1)【解】：令；則。將此代入(1)式可得即代入(1)式，易知其滿足方程式。【註】：不論用什麼方法解函數方程，最後一定要檢驗所得到的解是否滿足原來的函數方程。這在正式的競賽時是列入計分的，切記！例二：解函數方程(2)【解】：令；則。將此代入(2)可得--或(3)此時(2)及(3)並無法解出；所以我們再令；則。將此代入(2)式則可得即(4)將(2)，(3)及(4)聯立，則可得到一個以為獨立變數的三元一次聯立方程組；我們利用消去法來解此問題。(2)+(4)－(3)：。檢驗：所以.例三

3、：在本例中，我們將利用前述的方法來求例二之解。【解】：令，則此時可將(2)式表示為迭代一次可得--再迭代一次可得可得將此代入(2)式，可知其滿足方程式。例四：設(5)求？【註】在這個問題中，如果我們仍採用上面的方法就僅能找到部份的解，因為此時仍為未知函數。事實上，若令，將永遠無法得到一個使得。【解】：因，所以是(5)的一個解。如果考慮，則，也是(5)的一個解。通常函數方程式，其中為已知函數，是很難找到它全部的解。這種問題通常需對要有「適當的限制」才可能找到它全部的解；我們將在下面“未定係數法的解法”中再介紹如何求這種方程式的解。2.未定係數法：當我們知道函數的類型

4、（如有理函數，對數函數，指數函數···等）及函數的某些特徵（如已知函數在某些點的值或函數的對稱性、週期性···等），用未定係數法來求解較為簡捷。--例一：已知為多項式函數，解函數方程(1)【解】：因為為多項式函數，而與並不會改變的次數，故由(1)可知為二次函數，不妨設易檢驗出此確實滿足(1)式。在變數變換法中，我們曾提及在（為已知函數）的函數方程中，求解是不容易的，但若知道的某些特性時，我們可用未定係數法求解，我們來看下面例題。例二：已知是二次函數，解函數方程(2)【解】：設，將此代入(2)式可得易檢驗出此滿足(2)式。3.數值代入法：這種方法是用於函數的獨立變數

5、多於一個時，將其中部份的獨立變數以特別的數值代入，簡化方程式，進而求解。--例一：設是在實數域上有定義的函數，滿足且對任意的，(1)試求=？【解】：取代入(1)式，則可得，易檢驗出此滿足(1)。例二：已知函數滿足：，且對任意的(2)試求=？【解】：令代入(2)可得(3)令代入(2)可得(4)令代入(2)可得(5)(3)＋(4)－(5)：易檢驗滿足方程式(2)。【註】：事實上，若給予條件(6)則函數方程(2)的解為(7)因為若，則--所以(7)為(6)的解。例三：設f的定義域為N，滿足，且對任意的(8)試求=？【解】：取代入(8)式，可得(9)以代入(8)可得將這個

6、式子加起來，可得易檢驗出滿足(8)。4.遞迴數列法：A、遞迴數列求和法：這種方法多是用於定義域為自然數的函數方程，先找出的某個遞迴公式，然後依次取n為自然數個值代入遞迴公式，得到m個等式；設法利用這些等式消去以外其他形式的函數，即可求出函數方程的解。遞迴數列求和法實質上是將的解析式表示成某個數列的前幾項之和；所以需熟記等差及等比級數求和之公式。B.遞迴數列求積法：這種方法與遞迴數列求和法類似，只是此時我們是以乘積的方法消去除了以外其他形式的函數，取代前面相加消去除了以外其他形式的函數。C.有的函數方程需同時用到遞迴數列求和及遞迴數列求積法才能解出。一般而言，若函數

7、方程能化成其中為已知函數時，我們可用遞迴數列求積法先去一個函數符號，再利用遞迴數列求和法解出。--例一：設在整個自然數上都有定義，且滿足：，。(1)試求=？【解】：依次以代入(2)式可得將這個等式加起來，可得易檢驗出滿足方程式(1)。例二：設為定義在自然數上的函數，且滿足：，。(2)試求=？【解】：將(2)式兩邊同除可得，。(3)（此時，由(2)易證得；所以才可除）依次以代入(3)式，可得將這個等式相加，得到，。--例三：設函數在自然數上都有定義，，並滿足：，。(4)試求=？。【解】：將(4)式改寫為；(5)依次以代入(5)式可得將這個等式相加可得，，。(6)再依

8、序以代入(