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《2017-2018学年高中数学第一章不等关系与基本不等式3平均值不等式教学案北师大版选修4-5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、§3平均值不等式［自主学习］［对应学生用书P12］1.定理1对任意实数臼，b,有孑+方2^2白方，当且仅当爲=0吋取“=”号.2.泄理2（两个正数的平均值不等式）对任意两个正数臼，b,有冷'仝需k当且仅当a=b时取“=”号.我们称月亠h宁为正数臼与b的算术平均值,娅为正数&与方的几何平均值；因此定理2又可叙述为：两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值.3.定理3对任意三个正数b,c,有a+b'+c^）abc,当且仅当$=Z?=c时取“=”号.4.定理4（三个正数的平均值不等式）对任意三个正数自，b,c,有"+（+亠茶^,当且仅当a=b=c时取“=”号.这个定理可以叙述为：三个
2、匸数的算术平均值不小丁•它们的几何平均値.5.定理2,4的推广一般地，对n个正数ai,…，日”（刀22）,数值~,勺日1日2…日”,分别称n▼为这刀个正数的算术平均值与儿何平均值.且有："+处+・・・+弘$勺亦爲.n¥当且仅当&f=・・・=%时,取号，即刀个正数的算术平均值不小于它们的儿何平均值.［合作探究］1.如何利用求差法证明定理2?提示：因为字—娅=五严、0,所以字事価•2.由定理1与定理2能得到以下结论吗？（1）一+詩2&方同号）;ab⑶*代今睾纵＞0,力>0).提示：可以.1.利用定理2,4求最值需满足什么条件?提示：“一正二定三相等”•［对应学生用书P13］用平均值不
3、等式证明不等式[例1]ac⑴已知zbb,cER,求证：ci+^+c^aij+/}c+ca；⑵设臼，方，c都是正数,求证：牛+手+乎/+Z?+c.［思路点拨］本题考查平均值不等式及不等式的性质等基础知识，同时考查推理论证能力.解答此题需要先观察所求式子的结构，然后拆成平均值不等式的和，再进行证明.［精解详析］⑴』+方空2朋同理』+c空2挖，F+c空2%,将以上三个不等式相加得：a+l)+a+c+b'+c^2al}+2ac+2l}c,即：a++c^ab'+ac+b'c.(2)•••当曰>0,方＞0时，自+方22畅,[beachb=2c.沁2r-i+Ebe,ab^beab同理：亏+：M
4、2、/"2方,ac{ab^门inbacab—=2&c将以上三个不等式相加得:(be,ac,a6V+t+tJ22(日+Z?+q),beacxab7+T+72日+Z>+c.［方法•规律•小结］平均值不等式具有将“和式”和“积式”相互转化的放缩功能，常常用于证明不等式,解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用平均值不等式的切入点.但应注意连续多次使用平均值不等式定理的等号成立的条件是否保持一致.〃〃〃//////若将本例(1)中白，b,cER,变为b,c€R+,求证:曰+b+c^yl^+y[Tc+y[^.证明：•・・$,b,C为正实数，a+bPZ?+cM2y[bcfc+2
5、y[c£t.由上面三式相加可得(c?4-6)+(力+c)+(c+日)$2寸矗+2寸凤+2寸石,即a+b+c^y[a/}+y[bc+y[ca.//////牛时聚直〃〃〃1.已知实数已，b,c,d满足a>t)>c>d,求证：证明：因为a>b>c>d,所以3—力>0,b~q>0,c~d>0.所以a—方+b—c—d,(a—d)丄+丄+丄a—bb—cc~cL[la_6)+(/?—c)+(q—/]利用平均值不等式求最值[例2]IQ⑴己知x>0,y>0,且；+；=1,求x+y的最小值.(2)求函数尸#仃—5x)(0WxW甘的最大值.[思路点拨]本题考查利用平均值不等式求最值以及利用不等式知识分
6、析、解决问题的能力.解答此题(1)可灵活使用“1”的代换或对条件进行必要的变形，再用平均值不等式求得和的最小值；而解答题(2)需要将两项积/(l—5x)改变成三项积
7、x・(
8、—2“，再对它使用平均值不等式，即可获得所求.1Q[精解详析](1)法一：TQO,y>0,-+-=1,(卄y)y9x=~+—+1026+10=16.xy即x=,y=12时，上式取等号.故当x=4,尸12时，（/+尸）血=16.19法二由;+厂1得（I）（厂9）=9（定值）,可知x>l,y>9,而x+y=(x—1)+(y—9)+10M2~x~1y—9_+10=16.所以当且仅当x—l=y—9=3,即x=4,y
9、=12时，上式取等号.故当x=4,y=12时，匕+尸）亦=16.（2）尸欽2»=討石—2»•・・0W;vwZ,・・二一2心0.□D4675*294当且仅当x=x=-—2xf即x=—时，j
