2013湖南高考理科数学(纯word版)真题

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1、2013年湖南高考数学（理工农医）一、选择题1.复数（为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A.第一象限B.第一象限C.第一象限D.第一象限2.某学校有男、女学生各500名。为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异。拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则它宜采用的抽样方法是（）A.抽签法B.随机数法C.系统抽样法D.分层抽样法3.在锐角中，角所对的边长分别为。若，则角等于（）A.B.C.D.4.若变量满足约束条件，则的最大值是（）A.B.0C.D.5.函数的图象与函数的图象的交点个数为（）A.3B.2C.1D.06.已知是单位

2、向量，若向量满足，则的取值范围是（）A.B.C.D.7.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（）A.1B.C.D.图18.在等腰直角中，，点是边上异于的一点。光线从点出发，经反射后又回到点（如图1）。若光线经过的重心，则等于（）A.2B.1C.D.二、填空题：（一）选做题（三选二）图29.在直角坐标系中，若直线（为参数）过椭圆（为参数）的右顶点，则常数的值为10.已知则的最小值为11.如图2，在半径为的中，弦相交于点，，则圆心到弦的距离为（二）必做题12.若，则常数的值为开始输入输出结束是否图31

3、3.执行如图3所示的程度框图，如果输入，则输出的的值为14.设是双曲线的两个焦点，是上一点。若，且的最小内角为，则的离心率为15.设为数列的前项和，则16.设函数。其中记集合不能构成一个三角形的三条边长，且，则所对应的的零点的取值集合为若是的三条边长，则下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）①②使不能构成一个三角形的三条边长；③为钝角三角形，则使。三、解答题：共6个小题，共75分。17.已知函数（Ⅰ）若是第一象限角，且，求的值；（Ⅱ）求使成立的的值的集合。18.某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三

4、角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物，根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量（单位：）与它的“相近”作物株数之间的关系如下表所示：123451484542这里，两株作物“相近”是指它们这间的直线距离不超过1米。（Ⅰ）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（Ⅱ）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望。312O42341图419.如图5，在直棱柱中，（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值。20.在平面直角坐标系中，将从点出发沿纵、横方向到达点的任一路径称为到的一条“路径”。如图所示

5、的路径与路径都是到的“路径”。某地有三个新建的居民区，分别位于平面内三点处，现计划在轴上方区域（包含轴）内的某一点处修建一个文化中心。（Ⅰ）写出点到居民区的“路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；图6（Ⅱ）若以原点为圆心，半径为1的圆的内部都是保护区，“路径”不能进入保护区，请确定点的位置，使其到三个居民区的“路径”长度之和最小。21.过抛物线的焦点作斜率分别为的两条不同直线，且。与相交于点，与相交于点，以为直径的圆，圆（为圆心）的公共弦所在直线记为，（Ⅰ）若，证明；（Ⅱ）若点到直线的距离的最小值为，求抛物线的方程。22.已知，函数（Ⅰ）记在区

6、间上的最大值为，求的表达式；（Ⅱ）是否存在，使函数在区间内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。