2013秋哈尔滨工业大学数值分析试题及答案

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1、1．用Newton迭代法解方程的根，讨论迭代法的收敛阶，设计修正的方法提高迭代法的收敛阶；并对初值迭代二步，结果保留3位小数。解：设所以是的二重根，故Newton迭代在附近是线性收敛；构造修正的Newton迭代：2．给定线性方程组，其中，（1）利用Doolittle（杜利特尔）三角分解求解此线性方程组；（2）使用乘幂法计算矩阵的特征值和对应的特征向量。（初值取。只需计算前三次迭代，给出计算过程和结果，计算结果保留四位小数。）解：（1）由Doolittle三角分解，其中为单位下三角阵，为上三角阵，得即原方程变为，解得。（2），，，，3．已知是上的已知自然边界条件的三次样条函数，试确定

2、中的参数，和。解：记，由三次样条和自然边界条件的定义，有解得，。4．确定两点求积公式系数,使求积公式有尽可能高的代数精度。是否是Gauss型的？并用此公式计算积分,(结果保留四位小数)解：令求积公式准确成立，有：得：求积公式：令求积公式准确成立的，求积公式不是准确成立的，求积公式代数精度为3，是Gauss型的；作变换5．已知函数满足数表：-10210161）试求在上的Hermite插值多项式,使之满足下列条件：，2）设，证明余项，解：(1)设,由得（2）设余项，为待求函数。构造，则故有5个零点，至少有一个零点：所以，余项表达式为6．利用逆Broyden迭代法，解方程组，取初值迭代二

3、步，结果保留3位小数。逆Broyden秩1方法：解：记，则，7．求数据的最小二乘拟合多项式解：法方程为得。8．应用差分方法：解初值问题时，讨论步长应取何值方能保证方法的绝对稳定性？解：应用差分格式为：，需要满足所以9．给定线性多步法：（1）求出该格式的局部截断误差首项和首项系数；（2）分析该格式的收敛性；（3）讨论该格式的绝对稳定性，指出绝对稳定区间。（在局部截断误差中）（参考定理：设和是实系数二次方程的根，则的充要条件是。）解：（1）把局部截断误差在处Taylor展开：（2），方法是相容的；第一特征多项式：，两根为：方法满足根条件；由收敛的充分必要条件知方法是收敛的。(3)稳定多

4、项式：，由绝对稳定性要求知故由参考定理知：的两根即方法是无条件绝对稳定的。1．对于位数有限的实数，给出一个不用除法运算求倒数的二阶收敛的迭代公式；分析迭代初值可以选取的范围；若，试求（迭代4次，计算结果保留四位小数）。解：（1）考虑方程，为此方程的根,，利用Newton法建立迭代公式迭代函数。由有所以当时，，因此，即又因为所以格式是二阶收敛的。（2）当，，可取3．利用反差商方法，求有理插值函数通过。解：构造反差商表如下x　0213/2-224/5-5/3346/17-17/7-7-1/557/26-26/9-9/2-2/5-5所以4.确定数值积分公式中的求积系数和求积结点，使得该公

5、式具有最高代数精度。利用该公式计算积分的近似值。（计算结果精确到四位小数）。解：（1）由代数精度的定义，分别令使积分公式精确成立，有解得，。令，积分公式不成立，故代数精度为3。（2）5．利用共轭梯度法求解线性方程组，其中，初值取，给出计算中间过程和结果。已知的计算过程为：给定，计算对计算解：计算过程如下6．设充分光滑，给出的带有余项的中矩形求积公式将区间等分，试导出复化中矩形求积公式；分析复化中矩形求积公式的误差。解：记分点。则在每个单元上用中矩形求积公式：复化中矩形求积公式余项为存在，使得，所以7．考虑下面的Hermite插值问题：已知函数在（）的函数值和在的导数值。（1）构造二

6、次多项式满足条件：（2）若充分光滑，试分析误差。解：(1)设由,得（2）设余项，为待求函数。构造，则故有4个零点，至少有一个零点：所以，余项表达式为，8．取利用四阶经典Runge-Kutta格式求解下面初值问题（计算到，结果保留四位小数）四阶经典Runge-Kutta公式:解：(1)方法为结果为