应物092012量子物理学a

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1、您荊粥曲汕£S刍护S，能)追報丢汎yH¥题号—-•-四五六总分阅卷人得分2011—2012学年第二学期《量子物理学》课程考试试卷（A卷）专业：应物年级：09级考试方式：闭卷学分：4考试时间：110分钟H—.填空题（每空2分，总分20分）1•根据德布罗意关系式，微观粒子都具有波粒二象性。其表示式为E=；P=2.粒子所带电荷为q,则其电荷流密度的公式表示为：Jq=3.粒子的坐标与动量的对易关系为：［无,久］=4.屈于角动量平方算符公的本征值为：13=5.电子自旋算符的矩阵表示:.5,=6.粒子数算符N=a^af，和Q分别为产生算符和湮灭算符。

2、在以也〉为基矢的占有数表象中，有N

3、/z）=7.氢原子的状态波函数0伽来描述，其中的m为量子数。8.己知幺正变换矩阵S,则SS'Q.9.势垒贯穿效应屮粒子的透射系数为D,则反射系数的表达式为：R=二.简答题（每个5分，共计20分）1.波函数的统计解释2.量子力学中守恒量概念，定态概念与它们的区别3.电子自旋概念和自旋角动暈的木征值4.全同粒子的概念和全同性原理的涵义得分

4、三.证明题（10分）I厄米算符戶的本征值为/I,请证明兄必为实数a四.计算题(15分)g,兀v0(1)粒子的能一粒子在一维势场［/(%)=JO,O

5、级；(2)相应的归一化波函数0(劝。Z-X杜五.计算题(15分)71设/=0时粒子的状态为y/{x)=A(sin_A^+—coskx),求此时粒子的：(1)平均动量》；(2)平均动能亍。六.计算题（20分）已知在左和■的共同表象中，算符必矩阵表示为：4=-^求它们的本征值和归一化的本征函数。2011-2012学年第二学期《量子物理学》课程考试试卷（A卷）参考答案及评分标准一、填空题（每空2分，共计20分）1.肋或hco:hk或h/九2.）=^_呼w一才弋屮）2m3.ih4.«/+1）护u町0「5.—2106.n斤）7.磁&1或/（I是单位

6、矩阵）9.1-D二、简答题（20分）1.答：量子力学中，微观粒子的运动状态用波函数來描述，波函数的时空变化规律由薛定谭方程表示。波函数的统计统计解释为：物质波或薛定论方程中所描述的，并不像经典波那样代表什么实在的物理量在空间分布的波动，只不过是刻画粒子在空间的概率分布的概率波。因此，波函数0（厂）也称为几率波幅。根据波函数的统讣解释，粒子在空间各点的概率之和为1,即：打0（厂）『肝=1,称为波函数的归一化条件。1.答：定态是体系的一种特殊的状态，即能量本征态。在定态下，一切力学量（不显含t,但不管是不是守恒量）的平均值和测值概率都不随时间

7、改变。守恒量是指在任何态下，也即一切状态下（不管是否定态），力学量戶的期望值与测值概率不随时间变化。2.答：电子自旋及相应的磁矩是电子本身的内禀属性，所以也称为内禀角动量与内禀磁矩。其性质类似于轨道角动量与轨道磁矩，口旋可以与之相互耦合。口旋角动量S在空间任何方向的投影只能収两个数值S,=±-o21.答：将质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子称为全同粒子。全同性原理：全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变，它是量子力学的基本原理之一。全同粒子系的任何可观测量对于两个粒子交换都是对称不变的。三、证明题（10分

8、）证明：2表示厄米算符戶的本征值，设肖表示其所属的本征函数，根据本征方程:（5分）上式左乘/并对全空间积分得：2=jI//Fi//dr取/的复共轨得：才=Ji^FYdr由于算符斤为厄米算符，因此F,代入上式中可得:Xi//F"y/dT=j弱屮"dt二JFi//dr=2厄米算符戶的本征值2等于/T,说明2为实数。（5分）定理得证。四、计算题（15分）解：（1）在势阱内部（Ovxvg）,定态薛定谭方程为:cl22mEc丽叶百厝°加为粒子质暈。,上面的方程化为:/+£*=()（5分）方程的通解可以表示为：0（兀）=Asin（也+/）；A与5为待

9、定积分常数。因为势垒无限高，从物理上考虑，粒子不能透过井壁。按照波函数的统计诠释，要求在阱壁上及阱壁外波函数为0,特别是：肖（0）=0与0@）=0,此即为波函数的连续性条件。将条件带入通解条件屮得：sinJ=O和sin（加+5）=0解得/=0与滋=刃龙，n=1,2,3,•••bmEn27U2fi2将k=J讐代入ka=n7T得到：E=Eh=^4-,兀=1，2,3,…Vh2ma（2）对应与能级的波函数记为：必（兀）2^:（x）=Asin（—）,利用归一化条件：伽⑴「必=1可得：归一化常数A=£；则得到归一化的波函数为：/、［2..n/vx.必

10、（Q=J—sm（——）Vaa（5分）（5分）五、计算题（15分）解：利用三角函数公式：sind二丄（严一£弘），cosd=1（严+小恋）2z2可得到：妙（x）=A（sin2kx+-coskx）