基于鞅方法下分数布朗运动欧式回望期权的定价

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1、第２８卷第２期大学数学Ｖｏｌ．２８，№．２２０１２年４月ＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＡｐｒ．２０１２基于鞅方法下分数布朗运动欧式回望期权的定价桑利恒１，杜雪樵２（１．滁州学院数学科学学院，安徽滁州２３９０００；２．合肥工业大学数学学院，安徽合肥２３０００９）［摘要］利用分数布朗运动研究了一种强路径依赖型期权—回望期权的定价问题．首先列出了有关的定义和引理；其次利用该定义和引理建立了分数布朗运动情况下的价格模型，通过鞅方法，得到了回望期权价格所满足的方程；最后分别给出了看跌回望期权和看涨回望期权的定价公式的显式解

2、．［关键词］分数布朗运动；鞅方法；回望期权［中图分类号］Ｏ２１１．６；Ｆ８３０．９［文献标识码］Ａ［文章编号］１６７２－１４５４（２０１２）０２－００５０－０４１引言回望期权是一种新型期权．该期权持有者在期权到期日可以观察期权有效期内标的资产价格的演化过程，选择最高（低）的标的资产价格作为执行价格购买（出售）资产．因此，在期权到期日（ｔ＝Ｔ）的收益为ＳＴ－ｍｉｎＳｔ（看涨期权）或ｍａｘＳｔ－ＳＴ（看跌期权）．因此亦称它为“买进按低价，卖出按高价”期０≤ｔ≤Ｔ０≤ｔ≤Ｔ权或标准回望期权．回望期权又是强路径有关期权，它的敲

3、定价格依赖于整个“回望期”内的原生资产的价格，因此具有浮动的敲定价格．由于该期权收益高，价格十分昂贵，所以如何才能更准确地对该期权进行定价，具有十分重要的意义．对于经典的Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ（Ｂ－Ｓ）期权定价问题，它是均基于股票价格服从几何布朗运动的假设基础之上，得出了期权的定价公式，并加以推广．１９６８年ＭａｎｄｅｌｂｒｏｔａｎｄＶａｎＮｅｓｓ在ＳＩＡＭＲｅｖｉｅｗ上发表了ＦｒａｃｔｉｏｎａｌＢｒｏｗｎｉａｎｍｏｔｉｏｎｓ，ｆｒａｃｔｉｏｎａｌｎｏｉｓｅｓａｎｄａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ的文章，此后关于分数布朗运

4、［１］［２］动的文章大量涌现，最近ＨｕＹ，ｋｓｅｎｄａｌＢ，刘韵跃，杨向群等也分别对分数布朗运动及它在金融中的应用做了大量的研究．分数布朗运动富含了标准布朗运动，并且应用广泛．本文也是基于分数布朗运动环境下，通过随机微分方程和鞅方法来研究回望期权定价．２数学模型（ａ）假设标的资产如股票价格Ｓ（ｔ）服从几何分数布朗运动ｄＳｔＨ＝ｕｄｔ＋σｄＢｔ，Ｓ（０）＝Ｓ＞０，０≤ｔ≤Ｔ，Ｓｔ这里ｕ为期望回报率（常数），σ为波动率（常数），ｄＢＨ为分数布朗运动（带Ｈ参数的）；ｔ（ｂ）无风险利率ｒ（ｔ）＝ｒ是常数；（ｃ）原生资产连续支

5、付股息（红利），红利率是ｑ（ｔ）＝ｑ为常数；［１］（ｄ）此市场不存在套利且是完全市场，则有ＳＨ１２２Ｈ），ｔ＝Ｓｅｘｐ（σＢｔ＋μｔ－２σｔ且对０≤ｔ≤Ｔ，有ＳＴ＝Ｓｔｅｘｐμ（Ｔ－ｔ）－１σ２（Ｔ２Ｈ－ｔ２Ｈ）＋σ（ＢＨＨ）．Ｔ－Ｂｔ｛２｝［收稿日期］２００９－０８－１９第２期桑利恒，等：基于鞅方法下分数布朗运动欧式回望期权的定价５１现考虑一个具有２个资产（Πｔ，Ｓｔ）组合的金融市场，其中Πｔ为无风险债券的价格过程，满足方程ｄΠｔ＝ｒΠｔｄｔ；Ｓｔ为一个支付红利的价格过程．则在给定的风险中性概率空间（Ω，Ｆ，Ｐ）下，

6、满足下列随机微分方程：Ｈ，Ｓ（０）＝Ｓ＞０．ｄＳｔ＝（ｒ－ｑ）Ｓｔｄｔ＋σＳｔｄＢｔ对０≤ｔ≤Ｔ，则有ＳＴ＝Ｓｔｅｘｐ（ｒ－ｑ）（Ｔ－ｔ）－１σ２（Ｔ２Ｈ－ｔ２Ｈ）＋σ（ＢＨＨ）．Ｔ－Ｂｔ｛２｝定义１［３］Ｓξ是正态的，均值为ｕ，方差为σ２设随机变量Ｕξ＝ｌｎ．令ＳｍｉｎＳｕｔ≤ｕ≤ＴｙＴ＝ｌｎ＝ｍｉｎ｛Ｕξ，ξ∈［ｔ，Ｔ］｝，ＳｍａｘＳｕｔ≤ｕ≤ＴＹＴ＝ｌｎ＝ｍａｘ｛Ｕξ，ξ∈［ｔ，Ｔ］｝，Ｓ取τ＝Ｔ－ｔ，则有如下对数资产价格的转移密度函数的分布函数：２ｕｙ－ｙ＋ｕτ２ｙ＋ｕτＰｒ（ｙＴ≥ｙ）＝Ｎ（）－ｅσＮ（），ｙ

7、≤０，στ槡στ槡２ｕｙｙ－ｕτ２－ｙ－ｕτＰｒ（ＹＴ≤ｙ）＝Ｎ（）－ｅσＮ（），ｙ≥０．στ槡στ槡［２］Ｈ引理１设函数ｆ为满足Ｅ［ｆ（Ｂｔ（Ｔ））］＜∞的函数，则对任意ｔ≤Ｔ，（ｘ－ＢＨ）２＾Ｅ［ｆ（ＢＨ）］＝１ｅｘｐ－ｔｆ（ｘ）ｄｘ，ｔＴ［２Ｈ２Ｈ）］∫Ｒ槡２π（Ｔ２Ｈ－ｔ２Ｈ）２（Ｔ－ｔ其中Ｅ表示在概率测度Ｐ下的数学期望，＾Ｅｔ表示在概率测度Ｑ下的拟条件数学期望．［２］２引理２任意有界ＦＴ可测期权定价Ｆ∈Ｌ（Ｐ）在任意时刻ｔ∈［０，Ｔ］的价格为Ｆ（ｔ）＝ｅ－ｒ（Ｔ－ｔ）＾Ｅ［Ｆ］．ｔ２主要结论定理１根据路径变量

8、的定义，对于回望看跌期权，有Ｓｔ≤Ｊｔ＝ｍａｘＳｕ．０≤ｕ≤ｔ到期日为Ｔ，则在分数布朗运动下，回望看跌期权在当前时刻ｔ的价格为２２（ｒ－ｑ）－１－ｒ（Ｔ－ｔ）２Ｈ２ＨσＪσ２２（ｒ－ｑ）（Ｔ－ｔ）Ｖ（Ｓ，Ｊ，Ｔ）＝Ｊｅ［Ｎ（－ｄ＋σ槡Ｔ－ｔ）－）Ｎｄ－２（ｒ－ｑ）（Ｓ（σ槡（Ｔ２Ｈ－ｔ２Ｈ））］２－ｑ（Ｔ－ｔ）σ），－Ｓｅ［Ｎ（－