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1、标准实用专题二：立体几何---线面垂直、面面垂直一、知识点（1）线面垂直性质定理（2）线面垂直判定定理（3）面面垂直性质定理（2）面面垂直判定定理文案大全标准实用线面垂直的证明中的找线技巧通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直1．如图1，在正方体中，为的中点，AC交BD于点O，求证：平面MBD．证明：连结MO，，∵DB⊥，DB⊥AC，，∴DB⊥平面，而平面∴DB⊥．设正方体棱长为，则，． 在Rt△中，．∵，∴．∵OM∩DB=O，∴⊥平面MBD．评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．利用面面垂直寻
2、求线面垂直2．如图2，是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC． 证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D．因为平面PAC⊥平面PBC，且两平面交于PC，平面PAC，且AD⊥PC，由面面垂直的性质，得AD⊥平面PBC．又∵平面PBC，∴AD⊥BC．∵PA⊥平面ABC，平面ABC，∴PA⊥BC．∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在
3、空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直． 一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直线面垂直面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明．文案大全标准实用3．如图１所示，ABCD为正方形，⊥平面ABCD，过且垂直于的平面分别交于．求证：，． 证明：∵平面ABCD， ∴．∵，∴平面SAB．又∵平面SAB，∴．∵平面AEFG，
4、∴．∴平面SBC．∴．同理可证．评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．4．如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．∵，∴．∵，∴．又，∴平面CDF．∵平面CDF，∴．又，， ∴平面ABE，．∵，，，∴平面BCD．评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂
5、直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．文案大全标准实用5．如图３，是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．证明：∵AB是圆Ｏ的直径，∴．∵平面ABC，平面ABC，∴．∴平面APC．∵平面PBC， ∴平面APC⊥平面PBC．∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC，∴AE⊥平面PBC．∵平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂
6、直的关系．10．如图,在空间四边形SABC中,SA^平面ABC,ÐABC=90°,AN^SB于N,AM^SC于M。求证:①AN^BC;②SC^平面ANM分析:①要证AN^BC,转证,BC^平面SAB。②要证SC^平面ANM,转证,SC垂直于平面ANM内的两条相交直线,即证SC^AM,SC^AN。要证SC^AN,转证AN^平面SBC,就可以了。证明:①∵SA^平面ABC∴SA^BC又∵BC^AB,且ABSA=A∴BC^平面SAB∵AN平面SAB∴AN^BC②∵AN^BC,AN^SB,且SBBC=B∴AN^平面SBC∵SCC平面SB
7、C∴AN^SC又∵AM^SC,且AMAN=A∴SC^平面ANM文案大全标准实用［例2］如图9—40，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．图9—40（1）求证：AB⊥BC；（1）【证明】作AH⊥SB于H，∵平面SAB⊥平面SBC．平面SAB∩平面SBC=SB，∴AH⊥平面SBC，又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，而SA在平面SBC上的射影为SB，∴BC⊥SB，又SA∩SB=S，∴BC⊥平面SAB．∴BC⊥AB．［例3］如图9—41，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是A
8、B、PC的中点．求证：平面MND⊥平面PCD【证明】取PD中点E，连结EN，EA，则ENCDAM，∴四边形ENMA是平行四边形，∴EA∥MN．∵AE⊥PD，AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD，从而MN⊥平面PCD，∵MN平面MND，∴平面MND⊥平面PCD．【注】证
