高中数学第2章推理与证明21合情推理与演绎推理211合情推理课堂导学案苏教版

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1、2.1.1合情推理课堂导学三点剖析各个击破一、运用归纳推理发现新事实,获得新结论【例1】在平面内观察，凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线……由此猜想凸刀边形有几条对角线？解：凸四边形有2条对角线；凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条……于是猜想凸〃边形的对角线条数为比凸T边形的r2条对角线.由此凸n边形对角线条数为2+3+4+5+・・・+（旷2）二—刀（/厂3）（刀$4,nWN）.2温馨提示归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，是人们在日常活动和科学学习研究中经常使

2、用的一种推理方法，必须认真学习领会.在归纳推理的过程屮，应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系，如本例中随多边形边数及对角线条数的共变现象作泄量观察分析，才能发现其对角线条数的增加规律.类题演练1意大利数学家斐波那契在他的1228年版的《算经》一书中记述了有趣的兔子问题:假定每对大兔子每月能生一对小兔子，而每对小兔子过了一个月就可长成大兔子,如果不发生死亡，那么由一对大兔子开始，一年后能有多少对大兔子呢？我们依次给11!各个月的大兔子对数，并一直推算下去到无尽的月数，可得数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,

3、233,….这就是斐波那契数列，此数列中护琦1,你能归纳出，当时，②的递推关系吗？解：从第3项开始，逐项观察分析每项与其前面儿项的关系易得：从第3项起，它的每—项等于它的前面两项之和，即ar=an-i+an2（n^3,n^N）.变式提升1数列｛/｝中，0二2,如二一—一，刀丘川,依次计算型;臼3；创;并归纳猜想出/的表达.3%+16+13x2+16x1+1272212二=3x21312+13x4+16x2+1’72132212“6+]1912+13x4+16x2+113+“226x5-1）+16m-5二、运用类比推理揭示事物相似（相同）的性质【

4、例2］类比实数的加法和向量的加法,列出它们相似的运算性质.解：（1）两实数相加后，结果是一个实数，两向量相加后,结果仍是一个向量.（2）从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律.即时戻快臼；2少a.（M/?）+c二尹（倂C）；（£+方）+CF8+（決C）.（3）从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算.計尸0与計尸0都有唯一解，x=~a与x=~a.（4）在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即护0二自.在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，亦不改变该向量的方向，即計0二a温馨提示类比是对知识进行理线串点的好方

5、法,在平时的数学学习与复习时，常常以一两个对象为屮心，把与它有类比关系的对象归纳整理成一张图表，便于记忆与运用.在数学屮，我们可以由已经解决的问题和已经获得的知识、方法、规律出发，通过类比，从中得到启发与灵感,从而提11!新问题、作11!新发现和找到新方法.类题演练2类比圆的下列特征,找出球的相关特征.（1）平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆；（2）平面内不共线的3个点确定一个圆；（3）圆的周长与面积可求；（4）在平面直角坐标系屮，以点（xo,如为卧C?,r为半径的圆的方程为（旷肮）*+（厂口）解:（1）在空间内与定点距离等于定长的点的集合

6、是球；（2）空间屮不共面的4个点确定一个球；（3）球有面积与体积；（4）在空间直角坐标系中，以点（Ab,y°,z。）为球心，r为半径的球的方程为（尸须）'+（厂网）'+（旷©）Jrl变式提升2从大小正方形的数量关系上，观察如下图所示的儿何图形，试归纳得出的结论.1234561+3=2X2=2：1+3+5=3X3=32,1+3+5+7二4X4二4；1+3+5+7+9=5X5=511+3+5+7+9+11二6X6二6；观察上述算式的结构特征，我们可以猜想:1+3+5+7+…+（2n~l）=n三、合情推理应用举例【例3]20世纪60年代，数学家角谷

7、发现了一个奇怪现象:一个自然数，如果它是偶数就用2除它;如果是奇数，则将它乘以3后再加1,反复进行这样两种运算，会得到什么结果?试考察几个数并给出猜想.解：取自然数6,按角谷的作法有:6一2二3,3X3+1=10,104-2=5,3X5+1=16,164-2=8,84-2=4,4三2二2,2-?2=1.其过程简记为6—3—10—5—16—8—4—2—1.取自然数7,则有7—22—11—34—17—52—26—13-40-20-10-1.取自然数100,则有100—50—25-*76-*38—19->58-*29_*88-*44_*22->1!-

8、*•••-*1.归纳猜想:这样反复计算，必然会得到1.类题演练3观察下列已有的数的规律在（1）内填入恰当的数.1（⑤）（⑥）（⑦）⑧（⑨）1解：①到⑨