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1、实验六 多元函数的极值【实验目的】1．多元函数偏导数的求法。2．多元函数自由极值的求法3．多元函数条件极值的求法.4．学习掌握MATLAB软件有关的命令。【实验内容】求函数的极值点和极值【实验准备】1．计算多元函数的自由极值对于多元函数的自由极值问题,根据多元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤:步骤1.定义多元函数步骤2.求解正规方程,得到驻点步骤3.对于每一个驻点,求出二阶偏导数步骤4.对于每一个驻点,计算判别式,如果,则该驻点是极值点,当为极小值,为极大值;,如果,判别法失效,需进一
2、步判断;如果,则该驻点不是极值点.2．计算二元函数在区域D内的最大值和最小值设函数在有界区域上连续，则在上必定有最大值和最小值。求在上的最大值和最小值的一般步骤为：步骤1.计算在内所有驻点处的函数值；步骤2.计算在的各个边界线上的最大值和最小值；步骤3.将上述各函数值进行比较，最终确定出在内的最大值和最小值。3．函数求偏导数的MATLAB命令7/7MATLAB中主要用diff求函数的偏导数,用jacobian求Jacobian矩阵。diff(f,x,n)求函数f关于自变量x的n阶导数。jacobi
3、an(f,x) 求向量函数f关于自变量x(x也为向量)的jacobian矩阵。可以用helpdiff,helpjacobian查阅有关这些命令的详细信息【实验方法与步骤】练习1求函数的极值点和极值.首先用diff命令求z关于x,y的偏导数>>clear;symsxy;>>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3;>>diff(z,x)>>diff(z,y)结果为ans=4*x^3-8*yans=-8*x+4*y即再求解正规方程，求得各驻点的坐标。一般方程组的符号解用solve命令，当方程组不存在符号
4、解时，solve将给出数值解。求解正规方程的MATLAB代码为：>>clear;>>[x,y]=solve('4*x^3-8*y=0','-8*x+4*y=0','x','y')结果有三个驻点，分别是P(-2,-4),Q(0,0),R(2,4).下面再求判别式中的二阶偏导数：>>clear;symsxy;>>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3;>>A=diff(z,x,2)>>B=diff(diff(z,x),y)>>C=diff(z,y,2)结果为A=2*x^2B=-8C=4由判别法可知和都
5、是函数的极小值点，而点Q(0,0)不是极值点，实际上，和是函数的最小值点。当然，我们可以通过画函数图形来观测极值点与鞍点。>>clear;>>x=-5:0.2:5;y=-5:0.2:5;>>[X,Y]=meshgrid(x,y);7/7>>Z=X.^4-8*X.*Y+2*Y.^2-3;>>mesh(X,Y,Z)>>xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')结果如图6.1图6.1函数曲面图可在图6.2种不容易观测极值点与鞍点,这是因为z的取值范围为[-500,100],是
6、一幅远景图,局部信息丢失较多,观测不到图像细节.可以通过画等值线来观测极值.>>contour(X,Y,Z,600)>>xlabel('x'),ylabel('y')结果如图6.2图6.2等值线图由图6.2可见,随着图形灰度的逐渐变浅,函数值逐渐减小,图形中有两个明显的极小值点和.根据提梯度与等高线之间的关系,梯度的方向是等高线的法方向,且指向函数增加的方向.由此可知,极值点应该有等高线环绕,而点7/7周围没有等高线环绕,不是极值点,是鞍点.练习２求函数在条件下的极值..构造Lagrange函数求
7、Lagrange函数的自由极值.先求关于的一阶偏导数>>clear;symsxyk>>l=x*y+k*(x+y-1);>>diff(l,x)>>diff(l,y)>>diff(l,k)得再解正规方程>>clear;symsxyk>>[x,y,k]=solve('y+k=0','x+k=0','x+y-1=0','x','y','k')得进过判断,此点为函数的极大值点,此时函数达到最大值.练习3抛物面被平面截成一个椭圆,求这个椭圆到原点的最长与最短距离.这个问题实际上就是求函数在条件及下的最大值和最
8、小值问题.构造Lagrange函数求Lagrange函数的自由极值.先求关于的一阶偏导数>>clear;symsxyzuv>>l=x^2+y^2+z^2+u*(x^2+y^2-z)+v*(x+y+z-1);>>diff(l,x)>>diff(l,y)>>diff(l,z)>>diff(l,u)>>diff(l,v)得7/7再解正规方程>>clear;>>[x,y,z,u,v]=solve('2*x+2*x*u+v=0','2*y+2*y*u+v=0','2*z-u+v=0','x^
