2004-2010陕西中考函数压轴题含答案

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1、04-09陕西中考函数压轴题AO(第24题图)EBGxCyE′24.(04陕西)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC>AC,以斜边AB所在直线为x轴,以斜边AB上的高所在直线为y轴,建立直角坐标系,若OA2+OB2=17,且线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0的两个根.(1)求C点的坐标;(2)以斜边AB为直径作圆与y轴交于另一点E,求过A、B、E三点的抛物线的解析式,并画出此抛物线的草图;(3)在抛物线上是否存在点P,使△ABP与△ABC全等?若存在,求出符合条件的P点的坐标;若不存在,

2、说明理由.解:(1)∵线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0的两个根,∴又∵OA2+OB2=17,∴(OA+OB)2-2·OA·OB=17.(3)∴把(1)(2)代入(3),得m2-4(m-3)=17.∴m2-4m-5=0.解之,得m=-1或m=5.又知OA+OB=m>0,∴m=-1应舍去.∴当m=5时,得方程x2-5x+4=0.解之,得x=1或x=4.∵BC>AC,∴OB>OA.∴OA=1,OB=4.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CO⊥AB,∴OC2=OA·OB=1×4=4.∴OC=2.∴C(

3、0,2).(2)∵OA=1,OB=4,C、E两点关于x轴对称,∴A(-1,0),B(4,0),E(0,-2).设经过A、B、E三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,则∴所求抛物线解析式为(3)存在.∵点E是抛物线与圆的交点,∴Rt△ACB≌△AEB.∴E(0,-2)符合条件.∵圆心的坐标(,0)在抛物线的对称轴上,∴这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称.∴点E关于抛物线对称轴的对称点E′也符合题意.∴可求得E′(3,-2).∴抛物线上存在点P符合题意,它们的坐标是(0,-2)和(3,-2).ABCDEFOH第24题图xy

4、24.(05陕西)如图,在直角坐标系中,⊙C过原点O,交x轴于点A(2,0),交y轴于点B(0,)。(1)求圆心的坐标;(2)抛物线y=ax2+bx+c过O、A两点,且顶点在正比例函数y=-x的图象上,求抛物线的解析式;(3)过圆心C作平行于x轴的直线DE,交⊙C于D、E两点,试判断D、E两点是否在(2)中的抛物线上;(4)若(2)中的抛物线上存在点P(x0,y0),满足∠APB为钝角,求x0的取值范围。解:(1)∵⊙C经过原点O,∴AB为⊙C的直径。∴C为AB的中点。过点C作CH垂直x轴于点H,则有CH=OB=,OH=OA=1。∴

5、圆心C的坐标为(1,)。……………………(2分)(2)∵抛物线过O、A两点,∴抛物线的对称轴为x=1。∵抛物线的顶点在直线y=-x上,∴顶点坐标为(1,-)……………………(3分)把这三点的坐标代入抛物线抛物线y=ax2+bx+c,得ABCDEFOH第24题图xy……(4分)解得……(5分)∴抛物线的解析式为。………(6分)(3)∵OA=2,OB=2,∴.即⊙C的半径r=2。∴D(3,),E(-1,)…(7分)代入检验,知点D、E均在抛物线上…(8分)(4)∵AB为直径,∴当抛物线上的点P在⊙C的内部时,满足∠APB为钝角。∴-1<

6、x0<0,或2<x0<3。………………………………(10分)25.(06陕西)王师傅有两块板材边角料,其中一块是边长为60的正方形板子;另一块是上底为30,下底为120,高为60的直角梯形板子(如图①),王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材。他将两块板子叠放在一起,使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合,两块板子的重叠部分为五边形ABCDE围成的区域(如图②),由于受材料纹理的限制,要求裁出的矩形要以点B为一个顶点。(1)求FC的长;(2)利用图②求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离为多少时,矩形的面积最大?最大面积

7、时多少?(3)若想使裁出的矩形为正方形,试求出面积最大的正方形的边长。解:(1)由题意,得△DEF∽△CGF,∴,∴∴…………………………………………………………(3分)(2)如图,设矩形顶点B所对顶点为P,则①当顶点P在AE上时,,的最大值为……………………………………(4分)②当顶点P在EF上时,过点P分别作于点N,于点M。根据题意,得△GFC∽△GPN∴,∴,∴∴∴当时,的最大值为2400()……………………(7分)③当顶点P在FC上时,的最大值为。……(8分)综合①②③,得时,矩形的面积最大,最大面积为2400…………………

8、………………………………………………………(9分)(3)根据题意,正方形的面积与边长满足的函数表达式为:当时,正方形的面积最大,∴解之,得(舍),()。∴面积最大得正方形得边长为48。………………………………(12分)DCBPOyx(

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