考研数学_线性代数_内部讲义_金典.pdf

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1、YouStupidCunt!cunnilinguspenisvagina第一章行列式一．内容提要1．排列的逆序数：排列pp?p的逆序数12nnt=t1+t2+?+tn=∑tii=1其中t为元素p的逆序数。逆序数为奇数的排列为奇排列，逆序数为偶数的排列为偶排列。ii2．对换：一次对换改变排列的奇偶性。3．n阶行列式的定义（1）二阶行列式aa1112=aa−aa11221221aa2122（2）三阶行列式aaa111213aaa=aaa+aaa+aaa−aaa−aaa−aaa2122231122331321321

2、22331122133112332132231aaa313233（3）n阶行列式aa?a11121naa?a21222nttdet(aij)=????=∑(−1)a1p1a2p2?anpn=∑(−1)ap11ap22?apnnp1p2?pnaa?an1n2nn其中t为排列pp?p的逆序数。12n4．行列式的性质性质1：行列式与其转置行列式相等。性质2：交换行列式的任意两行（或列），行列式改变符号。特别地，如果行列式有两行（或列）对应元素相等或成比例，则行列式为零。性质3：如果行列式的某一行（或列）有公因子，则

3、该公因子可提到行列式记号外面来。性质4：如果行列式的某一行（或列）为两组数之和，则该行列式可以分解为两个行列式之和。注意改变的仅仅是该行（或列），其他行（或列）不变。性质5：把行列式的某一行（或列）乘以一个常数加到另一行（或列）上去，行列式的值不变。5．行列式按行（或列）展开定理det(a)=aA+aA+?+aA,i=1,2,?,n；iji11ji22jinnj或YouStupidCunt!cunnilinguspenisvaginadet(a)=aA+aA+?+aA,j=1,2,?,n。ij1j1j2j2j

4、njnjaA+aA+?+aA=0,i≠ji1j1i2j2injnaA+aA+?+aA=0,i≠j1i1j2i2jninji+j其中A=(−1)M为元素a的代数余子式，M为元素a的余子式。ijijijijij6．特殊行列式的值（1）对角行列式λλ11n(n−1)λλ2=?,2=(−1)2λλ?λλλλ12n12nBAλλnn（2）三角行列式aa?aa11121n11a?aaa222n2122=aa?a，=aa?a1122nn1122nnB@@@Baaa?annn1n2nna1na11?a1,n−1a1nn(n−

5、1)a2,n−1a2na21?a2,n−12==(−1)aa?a1n2,n−1n1A@@@Aan1?an,n−1annan1a?a111m???0a?ab?b111m111na?am1mm（3）=???⋅???b?b111na?ab?bm1mmn1nn*???b?bn1nn（4）范德蒙行列式111?1xxx?x123n2222xxx?x123n?????n−1n−1n−1n−1xxx?x123nYouStupidCunt!cunnilinguspenisvagina=(x−x)(x−x)?(x−x)(x−x)

6、?(x−x)?(x−x)2131n132n2nn−1=(x−x)∏ij1≤j

7、x解方法一：【思路分析】按行列式的定义计算由行列式的定义，行列式的每一项是不同行与不同列的乘积，得τ(1234)4f(x)=(−1)x⋅x⋅x⋅4x+?=4x+?4所以x的系数为4。方法二：【思路分析】按行列式展开定理计算将行列式按第一行展开，得x21x21xx1xx2f(x)=x2x3−1x3+123−12x134xx34xx14xx13x2134=x2x3+?=x(4x+?)+?=4x+?134x4所以x的系数为4。【注意】解答此类问题一般不要把行列式完全计算出来。例1—3计算四阶行列式YouStupid

8、Cunt!cunnilinguspenisvagina1−11x−11−1x+1−1D=1x−11−1x+1−11−1解方法一：【思路分析】将行列式化成三角行列式r2−r11−11x−1r2÷x1−11x−11−11x−1r3−r1r3÷xr4−r100x−xr4÷x001−1r4−r1001−133D==x=x0x0−x010−1010−1x00−x100−101−1x1−11x−11−11x−1