2012全国高中数学联赛一试试题参考答案

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1、２０１２年全国高中数学联赛试题（Ａ卷）参考答案及评分标准说明：１、评阅试卷时，请严格按照本评分标准。填空题只设８分和０分两档；解答题第９题４分为一个档次，第１０、１１题５分为一个档次。不要再增加其他中间档次。２、对于解答题，如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题：本大题共８小题，每小题８分，共６４分．把答案填在题中的横线上．２１．设Ｐ是函数ｙ＝ｘ＋（ｘ＞０）的图像上任意一点，过点Ｐ分别向直线ｙ＝ｘ和ｙ轴作垂线，ｘ→→垂足分别为Ａ、Ｂ，则ＰＡ·ＰＢ的值是．解：－

2、１．２【方法１】设Ｐ（ｘ０，ｘ０＋），则直线ＰＡ的方程为ｘ０２２ｙ－（ｘ０＋）＝－（ｘ－ｘ０），即ｙ＝－ｘ＋２ｘ０＋．ｘ０ｘ０ｙ＝ｘ，１１由２得Ａ（ｘ０＋，ｘ０＋）．{ｙ＝－ｘ＋２ｘ０＋，ｘ０ｘ０ｘ０２→１１→又Ｂ（０，ｘ０＋），所以ＰＡ＝（，－），ＰＢ＝（－ｘ０，０）．ｘ０ｘ０ｘ０→→１故ＰＡ·ＰＢ＝·（－ｘ０）＝－１．ｘ０２清北学堂http://www.qbxt.cn【方法２】如图１，设Ｐ（ｘ０，ｘ０＋）（ｘ０＞０），则点Ｐ到直线ｘ－ｙ＝０和ｙ轴的距离分别为ｘ０２│ｘ０－（ｘ０＋）│ｘ０槡２│ＰＡ│＝＝，│ＰＢ│＝ｘ

3、０．ｘ０槡２３π因为Ｏ、Ａ、Ｐ、Ｂ四点共圆（Ｏ为坐标原点），所以∠ＡＰＢ＝π－∠ＡＯＢ＝．４→→→→３π故ＰＡ·ＰＢ＝│ＰＡ│·│ＰＢ│ｃｏｓ＝－１．４３ｔａｎＡ２．设△ＡＢＣ的内角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边分别为ａ、ｂ、ｃ，且满足ａｃｏｓＢ－ｂｃｏｓＡ＝ｃ，则的值是５ｔａｎＢ．解：４．２０１２年全国高中数学联赛试题（Ａ卷）参考答案及评分标准第１页（共６页）【方法１】由题设及余弦定理，得２２２２２２ｃ＋ａ－ｂｂ＋ｃ－ａ３２２３２ａ·－ｂ·＝ｃ，即ａ－ｂ＝ｃ．２ｃａ２ｂｃ５５２２２ｃ＋ａ－ｂ８２ａ·２２２ｃｔａｎＡｓｉｎＡｃｏｓＢ２

4、ｃａｃ＋ａ－ｂ５故＝＝＝＝＝４．２２２２２２ｔａｎＢｓｉｎＢｃｏｓＡｂ＋ｃ－ａｂ＋ｃ－ａ２２ｂ·ｃ２ｂｃ５【方法２】如图２，过点Ｃ作ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为Ｄ，则ａｃｏｓＢ＝ＤＢ，ｂｃｏｓＡ＝ＡＤ．３由题设得ＤＢ－ＡＤ＝ｃ．５又ＤＢ＋ＤＡ＝ｃ．１４联立解得ＡＤ＝ｃ，ＤＢ＝ｃ．５５ＣＤｔａｎＡＡＤＤＢ故＝＝＝４．ｔａｎＢＣＤＡＤＤＢ【方法３】由射影定理，得ａｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＡ＝ｃ．３又ａｃｏｓＢ－ｂｃｏｓＡ＝ｃ．５４１联立解得ａｃｏｓＢ＝ｃ，ｂｃｏｓＡ＝ｃ．５５４ｃｔａｎＡｓｉｎＡｃｏｓＢａｃｏｓＢ５故＝＝＝＝４．ｔａｎＢｓｉｎＢｃｏｓＡｂｃ

5、ｏｓＡ１ｃ５３．设ｘ、ｙ、ｚ∈［０，１］，则Ｍ＝槡│ｘ－ｙ│＋槡│ｙ－ｚ│＋槡│ｚ－ｘ│的最大值是．解：槡２＋１．不妨设０≤ｘ≤ｙ≤ｚ≤１，则Ｍ＝槡ｙ－ｘ＋槡ｚ－ｙ＋槡ｚ－ｘ．清北学堂http://www.qbxt.cn因为槡ｙ－ｘ＋槡ｚ－ｙ≤槡２［（ｙ－ｘ）＋（ｚ－ｙ）］＝槡２（ｚ－ｘ），所以Ｍ≤槡２（ｚ－ｘ）＋槡ｚ－ｘ＝（槡２＋１）槡ｚ－ｘ≤槡２＋１．１当且仅当ｙ－ｘ＝ｚ－ｙ，ｘ＝０，ｚ＝１，即ｘ＝０，ｙ＝，ｚ＝１时，上式等号同时成立．２故Ｍｍａｘ＝槡２＋１．２４．抛物线ｙ＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦点为Ｆ，准线为ｌ，Ａ、Ｂ是抛物线上的两

6、个动点，且满足π│ＭＮ│∠ＡＦＢ＝．设线段ＡＢ的中点Ｍ在ｌ上的投影为Ｎ，则的最大值是．３│ＡＢ│解：１．２π【方法１】设∠ＡＢＦ＝θ（０＜θ＜），则由正弦定理，得３２０１２年全国高中数学联赛试题（Ａ卷）参考答案及评分标准第２页（共６页）│ＡＦ││ＢＦ││ＡＢ│＝＝．ｓｉｎθ２ππｓｉｎ（－θ）ｓｉｎ３３│ＡＦ│＋│ＢＦ││ＡＢ│所以＝，２ππｓｉｎθ＋ｓｉｎ（－θ）ｓｉｎ３３２πｓｉｎθ＋ｓｉｎ（－θ）│ＡＦ│＋│ＢＦ│３π即＝＝２ｃｏｓ（θ－）．│ＡＢ│π３ｓｉｎ３│ＡＦ│＋│ＢＦ│如图３，由抛物线的定义及梯形的中位线定理，得│ＭＮ│

7、＝．２│ＭＮ│π所以＝ｃｏｓ（θ－）．│ＡＢ│３π│ＭＮ│故当θ＝时，取得最大值为１．３│ＡＢ││ＡＦ│＋│ＢＦ│【方法２】由抛物线的定义及梯形的中位线定理，得│ＭＮ│＝．２在△ＡＦＢ中，由余弦定理，得２２２π│ＡＢ│＝│ＡＦ│＋│ＢＦ│－２│ＡＦ│·│ＢＦ│ｃｏｓ３２＝（│ＡＦ│＋│ＢＦ│）－３│ＡＦ│·│ＢＦ│２│ＡＦ│＋│ＢＦ│２≥（│ＡＦ│＋│ＢＦ│）－３（）２│ＡＦ│＋│ＢＦ│２２＝（）＝│ＭＮ│．２当且仅当│ＡＦ│＝│ＢＦ│时，等号成立．│ＭＮ│故的最大值为１．│ＡＢ│５．设同底的两个正三棱锥Ｐ－ＡＢＣ和Ｑ－ＡＢＣ内接于同一

8、个球．若正三棱锥Ｐ－ＡＢＣ的侧面与底清北学堂http://www.qbxt.cn面所成的角为４５°，则正三棱锥Ｑ－ＡＢＣ的侧面与底面所成角的正切值是．解：４．如图４，连结ＰＱ，则ＰＱ⊥平面ＡＢＣ，垂足Ｈ为正