特殊环的子环、理想和商环 毕业论文

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1、特殊环的子环、理想和商环摘要：环是一种重要的代数结构，我们熟知的环的例子很多。本文在假设我们熟知环的例子有：整数环，有理数环，实数环以及复数环等；倍整数环；模剩余类整数环环上级方阵环，如，，等；环上一元多项式环，如，等的基础上，讨论具有一些特殊性质的环的例子以及它们的子环，理想和商环的特殊性质。关键词：环子环理想商环一、特殊环的例子定义1称带有两个代数运算的代数系统为环。若i.对于加法做成交换群。ii.乘法封闭。iii.满足结合律。iv.两个分配律成立，。定义2为环，任一，，，则称为交换环。即乘法交换的环称为交换环。定义3为环，若存在，任一，有，则称为环的单位元的环。乘

2、法有单位元的环称为有单位元环。单位元记为。注：环必有单位环。环有单位元则唯一。有单位元，，若存在，有，则称为可以元，为的逆元。注：1.元中必有可逆元。2.零环中零元一定可逆。3.在非零环中零元不可逆。4.环中元可逆，则逆元唯一。定义3：为环，，，，，若，则元是环的左零因子，是环的右零因子。任意两个非零元的乘积都不为零的环称为无零因子环。注：1.零因子是非零元。2.零因子成对出现。3.零环为无零因子环。1.数环一定为无零因子环。2.为无零因子环若，且，则。为无零因子环若，则，且。为无零因子环若，，则。若，，则。若，，则。即无零因子环有两个消去律成立。反之，若至少有一个消去

3、律成立，则环为无零因子环。定义5称有单位元的无零因子可交换的环为整环。定义6整环：交换的有单位元的无零因子环称为整环。定义7除环：有单位元环中有非零元且任意非零元都有乘法逆远则称其为除环。定义8域：交换的除环为域。例1对于环的交换律，单位元和无零因子性，我们给出如下例子，其中表示满足该项性质，表示不满足该项性质。类型交换律单位元无零因子环例子123456为非零加群，乘法为7关于矩阵加法和乘法8零环关于整环，除环和域的子环，我们易有如下结论：引理1整环的子集为的子整环为的子环，且。引理2除环的子集为的子除环为的子环且对有。证明记为的全体非零元的集合，因为为除环，易验证为乘

4、法群。为的子除环为的子环，且为的子群。为的子环，且有。引理3域的子集为的子域为的子除环。非零除环是存在的，如：四元数除环，中加法，乘法分别为，=，其中是的复共轭。引理4无零因子环的子环和理想无零因子。引理5有单位元无零因子环的非零因子环，若有单位元则与原来的一样。证明设有单位元但无零因子，为的子环有单位元，则，必有。可以验证除环是无零因子的，但无零因子环不必是除环，利用四元除环给出了这样的例子。例2设为四元数除环，为虚数单位，，令，上定义加法，乘法与中一致，则为有单位元非交换无零因子环，但不是除环。证明由题设，易见为的子环，因而为无零因子环。的单位元也是的单位元，而，为

5、非交换环。下面讨论中的可逆元，设若，则若，则，，，。同样可证，若或或，则或或。若，则，必有，，进而，故，此时可逆元有四个，同样，若，则可逆元有，，。若，，此时，则或者或者于是或，故或，进而，或，此与或不合。由上中的可逆元共8个，，，，故非除环。例3设为四元数除环，为例2中的，为正整数。为以下子环：，，，，，，，，，，。证明根据的运算，易知以上集合都是加群，只要验证乘法封闭即可。在中，=，因为，故，于是，。其余均可类似验证。由引理4，这些子环都无零可验证：是，的理想；是的理想；，是的理想；是的理想；是的理想；是与的理想。由引理5，，，，无单位元。在单位元的环中，单位元及其

6、负元当然是可逆的，可逆的必是非零元且不是零因子。例2中的环是不交换的有单位的无零因子环，其非零元不全是可逆的，而其可逆元有不仅是单位元及其负元。下面给出交换环的例子，而其它性质与例2中的一样，且其逆元不可逆元均无限多。例4关于有理数的加法和乘法构成环。证明容易验证是一个交换的有单位元的无零因子环，且的非零元不全是可逆的。除单位元及其负元外，还有可逆元，为正整数。为构造进一步的例子，我们需要环的直和定义：设，是两个环，在和的卡氏积上按分量定义加法和乘法构成的环称为环和的直和。记，，则，故可自然地看成的理想，且有，。利用直和，我们将上面例子中的无零因子性去掉，构造交换（不交

7、换情形可以整数矩阵环为例）的有单位元的有零因子环的例子，其非零元不全是可逆的，而其可逆元又不仅是单位及其负元，同时其不可逆元不全是零因子。例无单位元无零因子环的真子集环无单位元。证明设为无零因子环无单位元环，的真子环有单位元。因为不能是的单位元，所以有使或，不妨设，取，则，于是，即，矛盾。所以无单位元无零因子环的真子集环无单位元结论成立。例5令为上例中的环，，则满足前述条件。证明显然是有单位元的交换的有零因子环，而是交换的有单位元的有零因子环，而得全体可逆元为，其中，其中，既是左零因子又死右零因子。例子中和上例中是无零因子环，例子中的可逆