高考圆锥曲线难题集粹

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1、.高考数学圆锥曲线训练1.已知的顶点在椭圆上，在直线上，且．（Ⅰ）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；（Ⅱ）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．解：（Ⅰ）因为，且边通过点，所以所在直线的方程为．设两点坐标分别为．由得．所以．又因为边上的高等于原点到直线的距离．所以，．（Ⅱ）设所在直线的方程为，由得．因为在椭圆上，所以．设两点坐标分别为，则，，所以．又因为的长等于点到直线的距离，即．所以．所以当时，边最长，（这时）此时所在直线的方程为．2.如图，椭圆：的一个焦点为F（1，0），且过点．yxABMFN

2、lO（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若为垂直于轴的动弦，直线：与轴交于点，直线与交于点．（ⅰ）求证：点恒在椭圆上；（ⅱ）求面积的最大值．...（Ⅰ）由题设，，从而．所以椭圆的方程为．（Ⅱ）（ⅰ）由题意得，，设，则，．……①与的方程分别为：，．设，则有由②，③得yxABMFNO，．由于．所以点恒在椭圆上．（ⅱ）设的方程为，代入得．设，，则有：，．yxABMFNO．令，则，因为，，所以当，即，时，有最大值，此时过点．的面积有最大值．...3.设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)、B(0,1)是它的两个顶点，直线y

3、=kx(k>0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.(Ⅰ)若=6，求k的值；Ⅱ)求四边形AEBF面积的最大值。22．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为，直线的方程分别为，．2分如图，设，其中，DFByxAOE且满足方程，故．①由知，得；由在上知，得．所以，化简得，解得或．6分（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，．9分又，所以四边形的面积为当，即当时，上式取等号．所以的最大值为．12分解法二：由题设，，．设，，由①得，，...故四边形的面积为9分当时，上式取等号．所以的最大

4、值为．12分4.已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为．记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线．是上异于椭圆中心的点．（1）若（为坐标原点），当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；（2）若是与椭圆的交点，求的面积的最小值．22．解：（Ⅰ）由题意得又，解得，．因此所求椭圆的标准方程为．（Ⅱ）（1）假设所在的直线斜率存在且不为零，设所在直线方程为，．解方程组得，，所以．设，由题意知，所以，即，因为是的垂直平分线，...所以

5、直线的方程为，即，因此，又，所以，故．又当或不存在时，上式仍然成立．综上所述，的轨迹方程为．（2）当存在且时，由（1）得，，由解得，，所以，，．解法一：由于，当且仅当时等号成立，即时等号成立，此时面积的最小值是．当，．当不存在时，．...综上所述，的面积的最小值为．解法二：因为，又，，当且仅当时等号成立，即时等号成立，此时面积的最小值是．当，．当不存在时，．综上所述，的面积的最小值为．5.已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；（Ⅱ）是否存在

6、实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．解法一：（Ⅰ）如图，设，，把代入得，xAy112MNBO由韦达定理得，，，点的坐标为．设抛物线在点处的切线的方程为，将代入上式得，直线与抛物线相切，，．即．（Ⅱ）假设存在实数，使，则，又是的中点，．由（Ⅰ）知...．轴，．又．，解得．即存在，使．解法二：（Ⅰ）如图，设，把代入得．由韦达定理得．，点的坐标为．，，抛物线在点处的切线的斜率为，．（Ⅱ）假设存在实数，使．由（Ⅰ）知，则，...，，解得．即存在，使．6.抛物线和三个点，过点的一条直线交抛物线于、两点，

7、的延长线分别交曲线于．（1）证明三点共线；（2）如果、、、四点共线，问：是否存在，使以线段为直径的圆与抛物线有异于、的交点？如果存在，求出的取值范围，并求出该交点到直线的距离；若不存在，请说明理由．22．（1）证明：设，则直线的方程：即：因在上，所以①又直线方程：由得：所以同理，所以直线的方程：...令得将①代入上式得，即点在直线上所以三点共线（2）解：由已知共线，所以以为直径的圆的方程：由得所以（舍去），要使圆与抛物线有异于的交点，则所以存在，使以为直径的圆与抛物线有异于的交点则，所以交点到的距离为

8、7.如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上．（I）求边所在直线的方程；（II）求矩形外接圆的方程；（III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．解：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为．又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为．即．（II）由解得点的坐标为，因为矩形两条对角线的交点为．所以为矩形外接圆的圆心．又．...从而矩形外接圆的方程为．（III）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又