问题84圆锥曲线中的最值、范围问题（原卷版）

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1、2018届修科闊老三赦修啟功在我专题八解析几何问题四：圆锥曲线中的最值.范围问题与圆锥曲线有关的范围、最值问题,各种题型都有，既有对圆锥曲线的性质、曲线与方程关系的研究，又对最值范围问题有所青睐,它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识，紧紧抓住圆锥曲线的定义进行转化,充分展现数形结合、函数与方程、化归转化等数学思想在解题中的应用.二、经验分享1.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，

2、解这类问题的核心是建立两个参数•之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范圉.2.处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用儿何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何屮的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)

3、参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、一不等式方法等进行求解.三、知识拓畏1.已知P是椭圆C：=l(a>b>0)一点,F是该椭圆焦点,则b0上>0)—点，F是该椭圆焦点，贝iOP>a]PF>c-a；双曲线C的焦点弦的最小值为(一)利用圆锥曲线定义求最值借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理.22【例1]已知A(4,0),B(2,2)是椭圆—1内的两个点,M是椭圆上的动点，求+的最大值和最小值.【

4、分析】很容易想到联系三角形边的关系无论A、M、B三点是否共线，总冇

5、MA

6、+故取不到等号，利用椭圆定义合理转化可以起到柳暗花明又一一村的作用.【解析】由已知得"（4,0）是椭圆的右焦点设左焦点、为F（-4,0）根据椭圆定义得卩创+AIB=2a-MF+卩個=10+卩纲_卩闵,因为

7、

8、AZ2-MF^<

9、7^

10、=2価:所以MB-MFe卜2皿2血］:故0创+A1B的最小值和最犬值分别为10-2^0和10+2廊.【点评】涉及到椭圆焦点的题目，应想到椭圆定义转化条件，使得复杂问题简单化.【小试

11、牛刀】【2017届四川双流中学高三上学期必得分训练】已知P为抛物线于=4兀上一个动点,Q为圆X2+（〉，-4）2二1上一个动点，当点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和最小时，点P的横坐标为（）A.9-VF78-D.V17（二）单变量最值问题转化为函数最值【例2】已知椭圆C：建立目标函数求解圆锥曲线的范围、最值问题，是常规方法，关键是选择恰当的变量为自变量.l（a>b>0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+l=0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.

12、（1）求椭圆的方程.（2）设P为椭圆上一点，若过点M（2,0）的直线/与椭圆E相交于不同的两点S和八且满足OS+OT=tOP（O为坐标原点），求实数t的取值范圉.【分析】（1）由题意可得圆的方程为（x一c）2+y2=a2，圆心到直线兀+y+1=0的距离d=根据椭圆C:二+匚=1@>方>0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,b=c,CTb厶a=^2b二Qc代入*式得b=c=i,即可得到所求椭圆力程；（II）由题意知直线L的斜率存•在,设直线L方程为y=k（x-2）,设#（心儿）,将直线方程代

13、入椭圆方程得：（1+2疋）〒—樣2兀+弘2_2=0,根据4=64疋_4（1+2讥8疋一2）=—16疋+8>0得到k2<丄：设Sgj）,T（x2,y2）应用韦达定理2加加_2坷f二命卞二时•讨论当Z20的悄况，确定，的不等式.【解析】⑴由题意：以椭圆C的右焦点为圆心以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为（x-c），+y2=a2.:.圆心到直线x+v+l=O的距离d=a=、肚b=JJc代入*式得b=c=1・a—方=•・•椭圆C%2v2a>b>0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,b=c,故所求

14、椭圆方程为斗+歹2=1.（II）由题意知直线L的斜率存在,设直线L方程为y=k（x-2），设p（x0,儿）将直线方程代入椭圆方程得：（1+2k~y—8£2兀+8疋—2=0・・・△=64/-4（1+2列8疋-2）=-16疋+8>0:.k2<-2OL2OL2_2设S（K，y）,7tx2，〉'2）则旺+£=]+%2，西兀2=]+2疋8分当k=0时，直线1的力程为y=0,此时t=0,OS+OT=tOP成立，故,t=0符合题意.当fH0