11因动点产生的相似三角形问题

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1、因动点产生的相似三角形问题如图1，在平面直角坐标系屮，双Illi线(RHO)与直线y=x+2都经过点A(2,m).(1)求R与加的值；(2)此双曲线乂经过点B(n,2),过点3的直线BC与直线y=x+2平行交y轴于点C,联结AB、AC,求△ABC的面积；(3)在(2)的条件下，设直线)‘，=兀+2与y轴交于点D,在射线CB上有一点E,如果以点A、C、£所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1,求点E的朋标.AYAX图1思路点拨1.直线AD//BC,与坐标轴的夹角为45°.2.求△ABC的面积，一般用割补法.3.讨论△ACEAzAACD相似，先寻找一

2、组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程.满分鮮答(1)将点A(2,加)代Ay=x+2,得加=4.所以点A的坐标为(2,4).k将点4(2,4)代入y=-,得k=&xQ图2(2)将点5(/?,2),代入^=-,得n=4.x所以点B的处标为(4,2).设直线BC为y=x+b,代入点5(4,2),得b=~2.所以点C的坐标为(0,-2).由A(2,4)、B(4,2)、C(0,-2),可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2,B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4.所以AB=2近,BC=4^2,ZABC=90°・所以SdT訥・BC=*2近M近=8.(1)

3、由A(2,4)、D(0,2)、C(0,—2),得AD=2迈,AC=2>/10.由于ZDAC+ZACD=45°,ZACE+ZACD=45°,所以ZDAC=ZACE.所以Z^CE与ZUCD相似，分两种情况：①如图3,当£2=42时，CE=AD=2V2.CAAC此时△ACD^ACAE,相似比为1.②如图4,当竺=4£时，解得ce=皿・此时C、E两点间的水CAAD2V102V2平距离和竖直距离都是10,所以“10,8）.S3m〃=2,Sz〃cn=&图5N考点伸畏第（2）题我们在计算△4BC的而积吋，恰好AABC是总角三角形.•般情况下，在处标平而内计算图形的

4、而积，用割补法.如图5,作'ABC的外接矩形HCNM,MN//y轴.由S矩形hcnm=24、S厶ahc=J例22015年武汉市中考第24题如图1,RtZkABC屮，ZACB=90°,4C=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动吋间为f秒(0

5、有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程.2.作"丄BC于D,动点P、Q的速度，暗含了BD=CQ.3.PQ的屮点H在哪条中位线上？画两个不同时刻P、Q、H的位置，一目了然.满分解答(1)RtZkABC中，AC=6,BC=8,所以AB=10・BPQ与ZXABC相似，存在两种情况：①如果竺=型，那么丄』BQBC8-4/8解得t=.缶解得仝414在RtZiBPD中,BP=5f,cosB=-,所以BD=BPcosB=4t,PD=3/.5当A0丄CP时，△ACQs/CDP・所以詩鈴即糸罟•解得2右(3)如图4,过PQ的中点H作BC的垂线,由于

6、H是PQ的中点，HF//PD,所以F是QD的中点.乂因为BD=CQ=4/,所以BF=CF・因此F是BC的中点，E是AB的中点.所以PQ的屮点H在△ABC的屮位线EF上.考点伸展木题情景下，如果以PQ为肓径的与AABC的边札I切，求/的值.如图7,当OH与4B相切时，QP丄ABf就是竺=匹，t=—・BQBA41如图8,当OH与BC\切时，PQ丄BC,就是—,7=1.BQBC如图9,当QHA/AC相切时，直径PQ二JPD?+0)2=J⑶)2+轻_&)2,半径等于FC=4.所以7(3r)2+(8-8r)2=8.1OQ解得2冇，或尸0(如图10,但是与已知

7、052矛盾).B(P)BpC(Q)图10如图1,已知抛物线尸丄兀2_丄少+1）兀+?（b是实数且b>2）与兀轴的正半轴分别交于点'444A、B（点A位于点3是左侧），与y轴的正半轴交于点C（1）点B的坐标为，点C的坐标为（用含〃的代数式表示）；（2）请你探索在第一彖限内是否存在点P,便得四边形PCOB的面积等于2b,且APBC是以点户为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点户的处标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得△QCO、/QOA和△QAB+的任意两个三用形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，

8、求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.思路点拨1.笫（2）题中，等腰直角三角形PBC©示了点