以 和 为焦点以定长d为长轴的椭圆与 的边 交

《以 和 为焦点以定长d为长轴的椭圆与 的边 交 》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、2006年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要再增加其他中间档次.一、（本题满分50分）以和为焦点的椭圆与△的边交于（）.在的延长线上任取点，以为圆心，为半径作圆弧交的延长线于；以为圆心，为半径作圆弧交的延长线于；以为圆心，为半径作圆弧交的延长线于；以为圆心，为半径作圆弧，交的延长线于.试证：（1）点与点重合，且圆弧与相内切于；（2）四点共圆.【证明】（1）显然，并由圆弧和，和，和分别相内切于点，得,以及

2、四式相加，利用以及在或其延长线上，有.……（10分）从而可知点与点重合。由于圆弧的圆心,圆弧的圆心以及在同一直线上，所以圆弧和相内切于点.………………（20分）（2）现在分别过点和引上述相应相切圆弧的公切线和交于点T.又过点引相应相切圆弧的公切线，分别交和于点和.连接和-5-，得等腰三角形和.基于此，我们可由……………………（30分）而，代入上式后，即得.…………………………（40分）同理可得.所以四点共圆.………………（50分）二、（本题满分50分）已知无穷数列满足，,.1)对于怎样的实数与，总存在正整数，使当时恒为常数？2)求通项.【解】1)我们有，（2.1）所以，如果对某个正整数，有，则

3、必有,且.如果该，我们得且.………………（10分）（2.2）如果该，我们有,（2.3）和,（2.4）将式（2.3）和（2.4）两端相乘，得,（2.5）由（2.5）递推，必有（2.2）或且.（2.6）反之，如果条件（2.2）或（2.6）满足，则当时，必有常数，且常数是1或－1.…（20分）2）由（2.3）和（2.4），我们得到-5-,（2.7）记,则当时，由此递推，我们得到,……………（30分）（2.8）这里，,.（2.9）由（2.9）解得.（2.10）上式中的n还可以向负向延伸，例如.……………（40分）这样一来，式（2.8）对所有的都成立.由（2.8）解得,.（2.11）式（2.11）中的由

4、（2.10）确定.……………（50分）三、（本题满分50分）解方程组【解】令我们有同样，令有…………………………（10分）-5-在此记号系统下，原方程组的第一个方程为.（3.1）于是现在将上面准备的和的表达式代入，得利用原方程组的第二至四式化简，得…………………………（20分）将（3.1）和（3.2）代入（3.3），得（3.5）将（3.5）代入（3.2），得（3.6）将（3.1）（3.5）（3.6）代入（3.4），得所以有这样一来，和分别是方程和的两根…………（30分）即或且或详言之，方程组有如下四组解：；或；或；或.……………………（50分）注：如果只得到一组解，或者不完整，最多得40分。关

5、于加试试题的背景说明可陆续见王兴华教授http://wangxinghua.name和浙江省数学会网站-5-http://www.zjms.org.有兴趣的同志敬请关注。-5-