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1、解决和导数有关问题三个策略例1设点P在曲线y二ex上，点Q在曲线y=ln2x上，则
2、PQ
3、的最小值为A.1-ln2B.(1-ln2)C.1+ln2D.(1+ln2)分析由题意知，两条曲线关于直线y二x对称，求出其中一条曲线到直线y=x的距离的最小值的2倍即可•要求曲线y=ex上的点P到直线y=x的距离的最小值，可以先设出点P的坐标，运用点到直线的距离公式求解•这种方法虽然可行，但是运算量较大•我们可以利用曲线的切线帮助求解.解由题意知，曲线y二ex与y二In2x关于直线y二x对称，且y二ex在R上单调递增，所以曲线y二ex上的点与曲线y二In2x上的点的最短距离为曲线
4、y二ex上的点到直线y=x的最短距离的2倍.当过点P的切线与直线y二x平行时，点P到直线y=x的距离最短•设点P的坐标为(xO,yO),得e二1,即x0=ln2,则点P的坐标为(In2,1)・所以
5、PQ
6、min=2•二(1-ln2)•选B.小结这道设计新颖的试题，主要考查同学们灵活运用数学知识的能力•灵活转化是解决本题的关键.例2已知函数f(x)满足：f(x)二f'(1)ex-l~f(0)•x+・(1)求f(x)的解析式及单调区间.(2)如果f(x)三x2+ax+b,求(a+1)b的最大值.分析要求出f‘(1),f(0),求导、赋值是必然的.令h(x)二f(x)-(x
7、2+ax+b),由hf(x)二ex-(a+1)的符号确定函数h(x)的单调区间.a+1的符号影响了h(x)的单调性，故对a+1的范围进行筛选，选出适合条件的范围,找到极值点，得出h(x)的最小值.由h(x)的最小值大于等于0,得到a,b的关系，将问题转化为求关于a+1的函数的最大值.解(1)由f(x)二f'(1)ex-1-f(0)•x+,得f'(x)=fz(1)ex~l-f(0)+x.令x二1，将其代入ff(x)=f7(1)ex-1-f(0)+x,可得f(0)=1,则f(0)二ff(1)eT二1,得f'(1)二e.所以，f(x)的解析式为f(x)二ex-x+.令g(x
8、)=fr(x)二exT+x,则g9(x)=ex+l>0,可知g(x)二ex-l+x在R上单调递增.于是由f'(x)$f'(0),得x20；由f'(x)0,则h(x)=ex-(a+1)x-b在R上单调递增.当x—时,h(x)—co，与h(x)20矛盾.当a+l>0时，由h‘(x)>0,可得x>ln(a+1),由h‘(x)0),则F‘(u)=u(l-21nu).由F‘(u)>0,可得0・当u二时，Fmax(u)二.所以，当a=-1,b=时，(a+1)b取得最大值为.小结筛选法是对某个参数的所有取值范围作一个甄别,筛选出适合题设的范围,进而解决问题，其关键是如何筛选.例3已
9、知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx.(1)求函数f(x)的最大值.(2)设0分析本题主要考查函数最值的求法和利用导数证明不等式•解决本题的关键是构造函数，用函数求导的知识，结合函数的单调性求解.(1)解：由已知得，函数f(x)的定义域为(-1,+-),f'(x)=-1.令f‘(x)二0,解得x=0,则当TO；当x>0时，f‘(x)0,则F(x)在(a,+8)上为增函数.于是可知，当x二a时，F(x)有极小值F(a).由于F(a)=0,b>a,所以F(b)>0,即g(a)+g(b)-2g()>0.设G(x)二F(x)一(x~a)In2,则G‘(x)二
10、Inx~ln-In2=lnx-ln(a+x)・当x>0时，G‘(x)
