道数学分析试题的注记new

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1、维普资讯http://www.cqvip.com第18卷第5期工科数学Vo1．18。NO．52002年10月JOURNAIOFMATHEMATICSFORTECHNOLOGYoct．2002一道数学分析试题的注记潘杰(合肥工业大学数学与信息科学系，合肥230009)东北师范大学1981年研究生入学考试数学分析科目有这样一道试题。r，为方便起见，我们以命题形式给出．命题1若-厂()在[“，6]上连续．对任意自然数且0≤是≤，令一日+是b--a——∑，=f(xk)--，k=l则)=[)一)]．(1)证因为)一厂(一f(x)dx一∑I[

2、-厂()一-厂()]d一m伽交换二次积分的积分次序，于是)一r尸㈤d『，d一∑r(1--xk1)-厂(t)dt．由于t--xH在[，]上不变号，故由积分第一中值定理得c一舢一(t--x,1)dt-厂()·1(一一)。一尸()，其中∈(㈧，)，k一1，2，⋯。．干旱骞[收稿日期]2001—12—20[基金项目]安徽省教育厅资助项目(2OOlkj9ozd)淘花/文库专用维普资讯http://www.cqvip.com第5期潘杰：一道数学分析试题的注记99因为尸()在Ea，bJ~连续，从而可积分，故有limnr()一f尸(b--—a[_

3、厂(6)-f(日)]．_n-一⋯J’对于命题1，本文将给出两点注记．1．文[2]给出了改进的积分第一中值定理，即：若函数_厂()在a，b]J2~gfl,分且在(日，6)内有介值性，函数g()在a，b]J2~gfl,分且不变号，则存在∈(日，6)，使l_厂()g()d一_厂()Ig(x)dw．(2)作为上述结论的特例，文[2]又给出了：若函数_厂()在[日，6]上可导，尸()在[日，6]上可积分，g()在[日，6]上可积分且不变号，则存在∈(日，6)，使rlb尸()g()d==：尸()rlg(w)dx．(3)J口J“由此可知，命题1

4、中关于_厂()的条件可减弱为尸()在，6]上可积分即可．2．从数值计算的角度来看，由于茎_厂()是积分_厂()d的复化右矩形公式，因而我们可以联想到以下问题：若将复化右矩形公式分别换为其它类型的求积公式，如复化左矩形公式、复化中矩形公式、复化梯形公式、复化Simpson。等，会有什么结论?下面我们以命题的形式予以介绍．命题2若尸()在，6]上可积分．对任意自然数且0≤志≤n--1，令一日+志b--a——，)一b--an1f(xD--蒯，则lim，2r(，2)一[厂(6)一厂(日)]．(4)证明从略．命题3若尸()在，6]上可积分．

5、对任意自然数且0≤志≤n--1，令m吉一a+(+丢jb--a，)一b--an1f(xk+，则()一一[尸(6)(洲．(5)证在[，+]上，利用Taylor公式将_厂()在点—Xk+处展开，_厂()一_厂(+专)+尸(¨专)(—¨吉)+等(—+吉)z，<玑<，一o，1，⋯，一1．(6)(6)式两边从到⋯积分，并利用(3)式，得一)+)(3Y--．TCk+如b--a几)+(一一一)+·丁(b--a)3，<淘花/文库专用维普资讯http://www.cqvip.com100工科数学第18卷由于一xk，故^0⋯r()一—b--a—f(x)

6、dx7"l(6一日)。=∑厂()．24n。^一0㈤一薹由于厂()在，6]上可积分，故有2r()一(b--24a)3；[f'(z)dz∑厂，一[厂(6)一尸(．T命题4若厂-”-(z)在，6]上可积分．对任意自然数且0≤是≤，令一2、∞一日+志—b--a一—．∑)：b--⋯a[f(卅2蓦6)卜bf(蒯z，则()一[尸(6)一尸()]．(7)证[xk，SCk+1]上对厂()运用梯形公式嘲，有．f厂(z)dz—bz--a．f(z)+厂(z+)]一—(b--a)3~,，()，z<￡

7、dz(b--a)zn一——．∑--I，()^／‘12k．=O㈤一蒯z⋯J／J：[厂(6)一厂(日)]．命题5若厂‘(z)在，6]上可积分．对任意自然数，令z^=a-+-kb_--=-a，是一0，1，⋯，，。z¨专一n+(志+号)b--a，是：0，1，⋯，一1，)=b--a[f(a)+4~f(专)+2n--1，(6)]，⋯4r()一[厂(6)一((8)证在[z，z¨]上对厂(z)运用Simpson公式，有厂(x)dx=~na[f(+4几)+，(m1)]一<淘花/文库专用维普资讯http://www.cqvip.com第5期潘杰：一道

8、数口]学]分析]试]题的注记101从而㈤一n--1[几4几)m1)]一f(x)dx(b--a)4一一2880一．)．由于f“()在，6]上可积分，故有㈤一UUvJa一[(6)一(训．最后指出，命题1和命题3在文[4]中已出现过，但此处的证法与文[4