自考高等数学(一)精讲第四章new

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1、自考复习资料由北京自考吧整理http://www.bjzikao8.com高等数学(一)第四章微分中值定理和导数的应用4.1微分中值定理费马引理：设函数y=f(x)在点的一个邻域上有定义，并在可导，如果（或）则一、罗尔(Rolle)定理1.罗尔（Rolle）定理如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在（a,b）内至少有一点，使得函数f(x)在该点的导数等于零，即。2.几何解释:在曲线弧AB上至少有一点C，在该点处的切线是水平的。例1.判断函数，在[-1，3]上是否满足罗尔定理条

2、件，若满足，求出它的驻点。北京自考吧www.bjzikao8.com1自考复习资料由北京自考吧整理http://www.bjzikao8.com高等数学(一)【答疑编号11040101】解满足在[-1，3]上连续，在（-1，3）上可导，且f(-1)=f(3)=0，∵，取例2.设f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)(x-5)，判断有几个实根，并指出这些根所在的区间。【答疑编号11040102】北京自考吧www.bjzikao8.com2自考复习资料由北京自考吧整理http://www.bjzikao8.com高等数学(一)二、拉格朗日(Lagrange)中

3、值定理1.拉格朗日(Lagrange)中值定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那么在（a,b）内至少有一点，使等式成立。注意：与罗尔定理相比条件中去掉了f(a)=f(b)结论亦可写成。2.几何解释:北京自考吧www.bjzikao8.com3自考复习资料由北京自考吧整理http://www.bjzikao8.com高等数学(一)在曲线弧AB上至少有一点C，在该点处的切线平行于弦AB。拉格朗日中值定理又称微分中值定理例3（教材162页习题4.1，3题（2）题）、判断f(x)=sinx在上是否满足拉格朗日中值定理。【答疑编号1

4、1040103】北京自考吧www.bjzikao8.com4自考复习资料由北京自考吧整理http://www.bjzikao8.com高等数学(一)推论1如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数。例4（教材162页习题4.1，4题）、证明【答疑编号11040104】证设北京自考吧www.bjzikao8.com5自考复习资料由北京自考吧整理http://www.bjzikao8.com高等数学(一)又，即，推论2假设在区间I上两个函数f(x)和g(x)的导数处处相等，则f(x)与g(x)至多相差一个常数。4.2洛必达法则一、型

5、及型未定式解法：洛必达法则1、定义如果当x→a（或x→∞）时，两个函数f(x)与F(x)都趋于零或都趋于无穷大，那么极限称为或型未定式。例如,2、定理设（1）当x→0时，函数f(x)及F（x）都趋于零；（2）在a点的某临域内（点a本身可以除外），f＇(x)及F＇(x)都存在且F＇(x)≠0；（3）存在（或为无穷大）；北京自考吧www.bjzikao8.com6自考复习资料由北京自考吧整理http://www.bjzikao8.com高等数学(一)那么。3、定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则。当x→∞时，以及x

6、→a，x→∞时，该法则仍然成立。4、例题分析例1、求。【答疑编号11040201】解：原式。例2、求【答疑编号11040202】例3、求【答疑编号11040203】北京自考吧www.bjzikao8.com7自考复习资料由北京自考吧整理http://www.bjzikao8.com高等数学(一)例4、求【答疑编号11040204】例5、求【答疑编号11040205】北京自考吧www.bjzikao8.com8自考复习资料由北京自考吧整理http://www.bjzikao8.com高等数学(一)例6、【答疑编号11040206】例7（教材166页例4）、求。

7、【答疑编号11040207】北京自考吧www.bjzikao8.com9自考复习资料由北京自考吧整理http://www.bjzikao8.com高等数学(一)例8、求。【答疑编号11040208】解：原式。例9、求。北京自考吧www.bjzikao8.com10自考复习资料由北京自考吧整理http://www.bjzikao8.com高等数学(一)【答疑编号11040209】解：原式。例10、求。【答疑编号11040210】例11（教材168页，例8）、求（a＞0）【答疑编号11040211】北京自考吧www.bjzikao8.com11自考复习资料由北京

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