《信号与系统》课程讲义2-1s

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1、第二章连续时间系统的时域分析§2.1微分方程的建立与求解本章主要研究内容：一、微分方程的建立1．元件约束特性¢微分方程的建立与求解①电路元件¢零输入、零状态、冲激、阶跃响应i)电阻R：¢卷积、算子iRiG__¢分配函数+v+vv=Rii=Gv§2.1微分方程的建立与求解§2.1微分方程的建立与求解ii)电感L：iii)电容C：LCi_i+v_+v1dv1i=∫vdtv=Ldi/dti=Cv=∫idtLdtC§2.1微分方程的建立与求解§2.1微分方程的建立与求解iv)互感M：v)变压器，受控源和运算放大器M②机械元件i)摩擦系数：+i1i2+v=Ldi1+Mdi2Ff=f⋅v11v1L

2、v2dtdtii)弹性系数：1L2didiv=L2+M1F=kv(t)dt22dtdtk∫--iii)质量：dv(t)F=mdt1§2.1微分方程的建立与求解§2.1微分方程的建立与求解2．网络拓扑约束3．不同性质系统可用相同微分方程描述①电路系统<例见书上P43~P44>Ni)KVL：∑vk=0k=14．电路类微分方程建立例子Nii)KCL：∑i=0kk=1②机械系统：达朗贝尔原理Mi)∑F=0ii=1Nii)∑vk=0k=1§2.1微分方程的建立与求解§2.1微分方程的建立与求解[例1]：求下面电路的微分方程5．机械类微分方程建立例子R解:+C+[例2]：理想火箭推动器模型的微分方

3、程++e(t_)v1(t)uv1(t)v0(t)载荷_火箭1etvt()−1()dt=−vt()uvt()__输入推进力e(t)mkm输出荷载舱速度∫1112vt()CR2dvt11()dvt()vt1()etvt()−=()RC−uRC1dtdtvt()RCdvt()et()−=−00(1u)uudt摩擦系数f1摩擦系数f2dvt()⇒−RC(1u)0+=vt()uet()0dt§2.1微分方程的建立与求解§2.1微分方程的建立与求解解：⎧e(t)−fv−k(v−v)dt=mdv1(1)11∫121把(3)和(4)代入(1)可得：⎪⎪dt⎨3fdvmdvdvdvfdvdvdve(t)

4、−f(v+21+22)−fv−m2=m(2+22+(m/k)2)⎪k(v−v)dt−fv=m2(2)22222123⎪⎩∫12222dtkdtkdtdtdtkdtdt223dvffdvfmdvdvmfdvmmdv由(2)可得：fv+m2+fv+122+122+m2+122+122=e(t)2222122123dvfdvmdvdtkdtkdtdtkdtkdtkvdt=kvdt+fv+m2⇒v=v+22+22∫∫1222122(3)d3vmf+mfd2v(m+m)k+ffdv(f+f)2dtkdtkdt⇒2+12212+12122+12v(t)=ke(t)/mm由(2)还可得：32212d

5、tmmdtmmdtmm121212dvk(v−v)dt=fv+m2∫12222dt(4)2§2.1微分方程的建立与求解§2.1微分方程的建立与求解6．线性时不变系统的微分方程特点二、微分方程的经典时域求解法（齐次解+特解法）①一般形式：线性常系数微分方程1．齐次解（自由响应）nn−1①齐次方程：dddcrtc()++rt()?++crtcrt()()nn−101nn−1nn−1ddddtdtdtcrtc()+rt()++?crtcrt()+()0=01nn−1nn−1mm−1dtdtdtddd=++Eet()Eet()?++Eet()Eet()②齐次解r(t)形式：Aeαt函数的线性组

6、合01mm−1mm−1hdtdtdtαt令r(t)=Ae代入上式化简得特征方程②若组成系统的元件线性、参数恒定且无初始储能，nn−1cα+cα+?+cα+c=0则系统为线性时不变系统01n−1nL有n个根α1,α2,?,αnC+-e(t)r(t)+-vc(0-)=0iL(0-)=00-:激励加入前的时刻§2.1微分方程的建立与求解§2.1微分方程的建立与求解③各种特征根情况下的齐次解形式[例3]：求下列微分方程的齐次解形式i)互不相同实根：r(t)=Aeα1t+Aeα2t+?+Aeαnt2h12nddd①r(t)+3r(t)+2r(t)=e(t)+3e(t)ii)α为k重特征根，与α有

7、关的齐次解部分：211dtdtdt(Atk−1+Atk−2+?+A)eαnt12k解：2iii)α1与α2为共轭复根p±qj（一重），对应齐次解部分：α+3α+2=0⇒α1=-1，α2=-2pt(A1cosqt+A2sinqt)e⇒r(t)=Ae−t+Ae−2tiv)α与α2为共轭复根p±q（jk重），对应齐次解部分为：h121[(Atk−1+Atk−2+...+A)cosqt+(Btk−1+Btk−2+...+B)sinqt]ept12k12