统计规律性教案探讨 二.力学规律和统计规律的关系 by 孙鑫教授new

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1、教案讨论二力学规律和统计规律的关系——能否由力学规律推导出统计规律？一．两种观点1．系综论：统计规律是另一层次的新规律，不能由力学规律导出．2．各态历经论：可用力学规律为统计规律提供基础．试图阐明在什么条件下可由力学规律导出统计规律．[1]二．系综论微观上，每个分子运动都遵从力学规律；但宏观体系包含极大数量的分子，无法也没有必要知道所有分子的运动细节．量变发生质变，大量粒子的体系出现了新的规律——统计规律，其基本假设是：在一定的宏观条件下（对于孤立体系，*总能量E、体积V和粒子数N确定），各种可能的微观状

2、态都能以相等的几率出现（平衡态）．这是统计物理的出发点，不必追问缘由．()i对于理想气体，只有碰撞交换能量，没pz(iN=1,2,…,)有相互作用．此时，在描写微观状态的相空间中，可将动量和坐标分离开来．能量守恒EE+∆要求微观状态必定出现在3N维动量空间中E的等能面S上，且S是球面．()i对于平衡态，等能面S上各点出现的几pyS率相等．由此，可用计算平均值的方法求得()ip各种宏观物理量．x()ipz[2]三．“各态历经（Ergodic）”论(iN=1,2,…,)1．定义：分子运动时，体系的微观状态从某

3、一初S始点出发，在S面上画出一条轨道．如果此轨道能无限接近S面上的任何一点（粗略一()ipy点讲，此轨道可到达S面上的任何一点，亦即各种微观状态都能到达），这就称为“各态()ipx历经”．*考虑到不可避免的外界扰动，体系能量限制在E与EE+∆之间．12教案讨论二这里除去了一系列钻进“死胡同”的点．由于这些点的测度为零，对计算平均值无贡献．例如，所有分子都沿图中菱形边运动，相互碰撞也离不开菱形．有不少学者举出类似于上述的“死胡同”作为反例，说明“各态历经”是不能实现的．这是不妥的，因为该理论已指出，“各态历

4、经”并不包括这些特殊点，由于它们的测度为零，排除它们不会改变能量曲面上的平均值．下面从几何上对“各态历经”打个比喻．一个质点沿圆环等速率运动，角速度为OΩω．同时，该圆环绕轴线OO′匀速转动，角速度为Ω．两者合成质点在球面上的运动，画出ω一条轨道．如果ω与Ω之比是有理数，则此轨道在球面上闭合，不能各“态”历经．如果ω与Ω之比是无理数，则此轨道可无限接近球面上的任何一点，但不能保证可以到达每一点．[3]2．平均值定理：O′如果某体系是各态历经的，则系综平均值等于沿轨道的时间平均值：1tT0+f系综=lim∫

5、ftt()ξ()d，(2.1)T→∞Tt0其中ξ表示体系在相空间中代表点的全部坐标．因此，只要“各态历经”成立，系综论的假设就有了力学基础．在此意义上，可由力学规律导出系综理论．有一学派就认为“各态历经”是统计物理的基本假定．这样，统计物理的基本问题变为“各态历经”能否实现．3．实现“各态历经”的条件：N个粒子的系统有3N个自由度，Hamilton方程是6N个联立的微分方程组．如果是完全可积的，则有6N个运动常数，其中的一个是总能量E（能量守恒）：HE(pq,)=．(2.2)ii通俗一点讲，某体系可以各态

6、历经的条件是：除能量积分外，不存在其他的运动积分．这是容易理解的．如果还存在另一积分力学规律和统计规律的关系（复旦大学物理系，孙鑫，2004年7月）3f(pq,)=C，(2.3)ii它在相空间()pq,中是一个超曲面，此曲面将与能量曲面(2.2)相交，则体系的代ii表点只能在此相交的部分运动，而不能遍历能量曲面，也就不能各态历经．数学上已证明，“各态历经”的充要条件是该动力学体系具有“度量可移性”[4]（MetricTransitivity）．该数学条件在物理上如何实现，还有待进一步研究．因而，物理上，“

7、各态历经”仍有假定的成分，尚未完全解决．[5]但是，可以举出一些模型体系，它们是各态历经的．刚球模型就是其中之[6]一．4．刚球碰撞模型：在一体积V固定的容器中装有N个半径为r的刚球，刚球之间及刚球与器壁都是弹性碰撞．这是一个简单的力学模型．虽然刚球碰撞时动量守恒，但刚球与器壁碰撞，球的动量要改变，而容器是外界，因而体系的总动量不是积分常数．此体系只有总能量是积分常数．文献[6]证明了该体系是各态历经的．根据前面介绍的平均值定理，此体系的长时间平均等于系综平均，因而可从力学规律导出Maxwell分布．计算

8、机的模拟结果显示，当N=10时，粒子很少，可以由力学确定任何时刻各粒子的位置r()t，是决定论因果性的．每个瞬时，按速率的分布nvt(),是断断i续续的，时刻在变，没有意义．但是，积累一段时间T后，将瞬时分布nvt(),按时间T作平均，就逐渐显示出Maxwell分布．时间T不长时，分布的起伏σ()T很大．T增加时，起伏σ()T逐渐减小，经过T后，趋向一稳定的起伏σ，见如下00示意图．当N=100时，瞬时的分布偏离σ()TMax