概率论与随机过程第6章new

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1、解析信号与希尔伯特变换窄带随机过程的定义窄带随机过程的性质窄带高斯随机过程Z(t)的高斯分布余弦波加窄带高斯过程1§6.1解析信号与希尔伯特变换(预备知识)1．解析信号的引入---仅在正频域有值的复信号一般时域信号s(t)S(f)s(t)ej2ftdtR(f)jI(f)S(f)满足共轭对称性，即，R(f)R(f),偶函数S(f)S(f)I(f)I(f)，奇函数I(f)jarctanj(f)22R(f)S(f)S(f)eR(f)I(f)eS(f)，偶函数(f)，奇函数由此可知

2、：时域实信号正、负频域的频谱可互求。2从有效利用信号的角度出发，实信号负频域部分是冗余余的，所以只要保留正频域的频谱，记为S(f)，即可。S(f)S(f)若只取正频域频谱S(f)，则S(f)S(f)，即S(f)不满足共轭对称性，Fourier变换但S(f)时域复信号(解析信号)问题：如何由给定的时域实信号构造对应的时域复信号?32．解析信号的构造对给定的时域实信号s(t)，设构造的时域复信号为z(t)s(t)jsˆ(t)其中，sˆ(t)为一由s(t)构造的信号，其构造方法可为，s(t)h(t)ˆs(t)即，z(t)s(t)

3、js(t)h(t)F变换Z()S()1jH()4H(f)的设计要求：1．要满足使得Z(f)只有正频域频谱；2．要使z(t)信号包含s(t)信号的全部信息。由此可得:j,0Hj()sgn()j,011。h(t)FH()t11s()故此，stˆ()st()dHst[()]tt称为Hilbert变换。5Hilbert变换与反变换:1s()sˆ(t)H[s(t)]dt11sˆ()s(t)H[sˆ(t)]dt令t

4、，进行变量置换，有1()1()stststˆ()dd1()1()ststst()dd6全通滤波器90o相移器H(f)

5、H(f)

6、(f)H19001ff00f09001H(f)或h(t)称为Hilbert变换器。它不改变信号的幅频特性，只改变信号的相频特性。由此方法构造的复信号称为实信号s(t)的解析信号为:s(t)s(t)jHs(t)A2S(f),f0SA(f)S(f)1jH(f)0,f0783．Hi

7、lbert变换的性质性质1.H[]=xˆ(t)x(t)性质2若，y(t)h(t)x(t)则H[][y(t)]h(t)xˆ(t)hˆ(t)x(t)。性质3xˆ(t)和x(t)的能量及平均功率相等，即22xˆ(t)dtx(t)dt1T1T22TlimTxˆ(t)dtTlimTx(t)dt2T2T9性质4.平稳随机过程X(t)和其对应的Hilbert变换Xˆ(t)的自相关函数满足：RXˆ()RX()变换后平均功率不变RXˆ(0)RX(0)性质5.平稳随机过程X(t)~Xˆ(t)的互相

8、关函数满足：为奇函数RXXˆ()RˆX()RXˆX()RXXˆ()RˆX()RXXˆ()RXXˆ(0)RXˆX(0)0X(t)~Xˆ(t)在同一时刻正交10性质6.设具有有限带宽的信号a(t)的傅氏变换A()，假定0，则有H[[]a(t)cos0t]a(t)sin0tH[]a(t)sin0ta(t)cos0t11§6.2窄带随机过程的定义窄带系统---------很多无线电系统的通频带是比较窄的，它们远小于其中心频率0，这种系统只允许输入信号靠近附近的频率分量通过，故称为窄带系统。其

9、满足：00为高频载波。窄带随机过程------若一个随机过程的功率谱密度，只分布在高频载波ω附近的一个较窄的频率范围∆ω内，且满足ω>>∆ω00时，则称该过程为窄带随机过程。记为：Z(t)Z(t)。功率谱分布的频率范围可与其所在的中心频率比拟的（或不满足ω0>>∆ω条件的）随机过程，称为非窄带过程。12例：图6.1为窄带随机过程的功率谱密度函数G(ω)Z0000问题:对应于功率谱密度G(ω)的窄带随机过程Z(t)的表达Z式为何？即如何Gz()Z(t)。132

10、Z()

11、1.由可T知:G()E[lim]z

12、TT若G(ω)占的频带很窄，则│Z(ω)│也一定占很窄的zT频带,即其系统函数具有与功率转移函数相似的形式2.由信号与