高等数学下9.2偏导数

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1、有定义有极限极限等于该点的函数值例7讨论函数xy2222,xy0f(x,y)xy220,xy0在(0,0)的连续性．解取ykxxy2kkxlim22lim2x0xyx0x2k2x21ky0ykx其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．§2.偏导数yf(xx)f(x)00导数定义f(x0)limlimx0xx0x一、偏导数的定义及其计算定义设函数zf(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量x时，相应地函数有增量f(,xx00y)fxy(,)00f(

2、,xxyf)(x,y)如果lim0000存在，x0x则称此极限为函数zf(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，记为zf，zxx0xxx0xyy，xxx0或fx(x0,y0)0yyyy00一、偏导数的定义及其计算zf(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，zfx(,000xy)fxy(,0)，limx0xxxx0yy0同理可定义函数zf(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数：fxy(,y)fxy(,)lim0000y0yzf记为：,zyxx0,或fy(x0,y0)yxx0yy0yxx0

3、yy0yy0一、偏导数的定义及其计算zf(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，zfx(,000xy)fxy(,0)，limxxx0xx0yy0如果函数zf(x,y)在区域D内任一点(x,y)偏导函数:对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数zf(x,y)对x的偏导函数，zf记作z，x或fx(,),xyxx一、偏导数的定义及其计算zf(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数，f(x,yy)f(x,y)zlim0000y0yyxx0yy0偏导函数:zf(x,y)对自变量x的偏导函数，zf

4、记作，zx或fx(x,y)，xx同理可以定义函数zf(x,y)对自变量y的偏导函数，记作：zfz，，y或fy(x,y)偏导函数简称为偏导数.yy一、偏导数的定义及其计算fx(,xy)fxy(,)0000fxy(,)limx00x0x偏导数的概念可以推广到二元以上函数如uf(x,y,z)在(x,y,z)处f(xx,y,z)f(x,y,z)f(x,y,z)lim,xx0xf(x,yy,z)f(x,y,z)f(x,y,z)lim,yy0yf(x,y,zz)f(x,y,z)f(x,y,z)lim.zz0z一、偏导数的定义

5、及其计算22例1求zx3xyy在点(1,2)处的偏导数．zz解2x3y;3x2y.xyzx121328,xy2z31227.x1yy2一、偏导数的定义及其计算y例2设zx(x0,x1)，xz1z求证2z.yxlnxyzy1zy证yx,xlnx,xyxz1zxy11yyxxlnxyxlnxyylnxyyxx2z.原结论成立．一、偏导数的定义及其计算有关偏导数的几点说明：udy１、偏导数是一个整体记号，不能拆分;可拆xdx２、求分段点、不连续点处的偏导数要用定义求；例如,

6、zfxy(,)xyf,求(0,0),f(0,0).xyfx(,xy)fxy(,)解0000fxy(,)limx00x0x

7、(0x)0

8、0fx(0,0)lim0fy(0,0).x0x一、偏导数的定义及其计算xy(,)(0,0)xy例322fxy(,)xy0(xy,)(0,0)求f(,)xy的偏导数fx(,xy)fxy(,)0000fxy(,)limx00解x0x当(x,y)(0,0)时,fxy(,yfxy)(,)0000fxy(,)limy00y0yfxf(0,0)(0,0)0f(0,0)li

9、mlim0,xx0xx0xfy(0,0)f(0,0)0f(0,0)lim0,ylimy0yy0y例3xy(,)(0,0)xy22fxy(,)xyf(0,0)0x0(xy,)(0,0)f(0,0)0y求f(,)xy的偏导数解(,)(0,0)xy时2222y()xyxy2xy(yx)fx(x,y)222,()xy222(xy)22x(x2y2)x(xy)2yxyfy(x,y