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1、无穷积分敛散性的判别法摘要：无穷积分的基本问题就是敛散性的判别问题,是求解无穷积分近似值的—个先决条件。由于判别方法比较多,学生不易掌握,从而是数学分析的一个难点,也一直是一个重要的研究课题。本文就一些常见和不常见的判定方法做一个归纳,这样将有助于我们灵活地运用各种判别法判定无穷积分的敛散性。关键词：无穷积分；收敛；柯西准则；发散1 无穷积分的定义定义：设函数定义在无穷积分区间上，且在任何有限区间上可积．如果存在极限 则称此极限为函数在上的无穷限反常积分（简称无穷积分），记作并称收敛．如果极限不存在，为方便起见
2、，亦称发散． 类似地，可定义在上的无穷积分：对于在上的无穷积分，他用前面两种无穷积分来定义：，其中为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的．2无穷积分的性质性质1 若与都收敛，为任意常数，则也收敛，且性质2 若在任何有限区间上可积，，则与同敛态，且有其中右边第一项是定积分．性质3 若在任何有限区间上可积，且收敛，则亦必收敛，并有当收敛时，称为绝对收敛．性质指出：绝对收敛的无穷积分他自身也一定收敛．但是它的逆命题一般不成立，并称收敛而不绝对收敛者为条件收敛．3无穷积分的敛散性定义1设函数在上有定义,且对在上可积,当存在,称此极限为
3、函数在区间上的无穷限反常积分(简称无穷积分),记为这时称积分是收敛的.如果上述极限不存在,为方便起见,并称无穷积分发散.4无穷积分的敛散判别法4.1 定义法根据定义我们可以得到判断无穷积分收敛的一个方法，这是证无穷积分收敛的一个最基础的方法．例1[1] 讨论无穷积分的敛散性．解 由于当时，，当时，，所以当时，，而当时，．所以当时收敛，其值为；当时发散于．4.2 柯西准则由定义知道，无穷积分收敛与否，取决于函数在时是否存在极限．因此可由函数极限的柯西收敛准则导出无穷积分收敛的柯西准则．定理1[２] 无穷积分收敛的充要条件是：任给，存在，只要、便有因
4、此我们可以利用柯西准则的充分性来证无穷积分是否收敛．在下面证明狄利克雷判别法时就用到了柯西准则来判别无穷积分的收敛与发散．4.3 比较判别法这是无穷积分的绝对收敛判别方法．由于关于上限是单调递增的，因此收敛的充要条件是存在上界．根据这一分析，我们得到下述比较判别法：定理2（比较法则） 设定义在上的两个函数和都在任何有限区间上可积，且满足，则当收敛时必收敛（或者，当发散时，必发散）．例2 讨论的收敛性解 由于，，且收敛，根据比较法则，为绝对收敛．我们又可得到比较法则的极限形式：若和都在任何有限区间上可积，，且，则有： 当时，与同敛态； 当时，由收敛
5、可推知也收敛；当时,由发散可推知也发散. 当选用作为比较对象时，比较判别法及其极限形式就是柯西判别法：设定义于，在任何有限区间上可积，且则有： 当时，收敛； 当时，发散．例3 讨论无穷积分的敛散性解 当时，取，，则．由柯西判别法知收敛．当时，则．由柯西判别法知收敛．4.4 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法定理3（狄利克雷判别法） 若在有界，在上当时单调趋于零，则收敛．证 由条件设．任给，由于，因此存在，当时，有．又因为为单调函数，利用积分第二积分中值定理，对于任何，存在，使得．于是有 根据柯西准则，证得收敛．定理4（阿贝尔判别法） 若收敛，在
6、上单调有界，则收收敛．例4 讨论无穷积分的敛散性．解 当时，因为，，而当时收敛，则由比较法知收敛且绝对收敛．当时，因为对任意的，有，而当时单调趋于零（），故由狄利克雷判别法知当时总是收敛的．但另一方面，由于，，其中满足狄利克雷条件，是收敛的，而是发散的，因此当时该无穷积分不是绝对收敛的．所以它是条件收敛的．当时，有定义可知该积分发散．所以由以上讨论可知，在时绝对收敛，时条件收敛，时发散．4.5比值判别法正项级数的敛散性判别法很多,例如比值判别法,根值判别法,拉贝判别法等,但非负函数无穷积分的敛散性判别法却不多,正项级数与非负函数无穷积分本有相似之
7、处,我们可以建立非负函数无穷积分,其敛散性与正项级数敛散性判别法相似,于是我们得到无穷积分的比值判别法。定理7设有在上可积,且则当时无穷积分收敛,当时无穷积分发散.上面得出了无穷积分的比值判别法,我们同理也可得出无穷积分的根值判别法：设有在上可积,若则当时无穷积分收敛,当时无穷积分发散.[1]华东师范大学数学系．数学分析[M]．北京：高等教育出版社，2003．[2]华东师范大学数学系．数学分析习题解析[M]．上海：华东师范大学出版社，2003．[3]徐利治．大学数学解题诠释[M]．安徽：安徽教育出版社，1987．[4][美]G.A.科恩T.M科恩
8、．数学手册[M]．北京：工人出版社，1990．[3]斐礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，2006.[4]唐国
